A seguir estão os passos para se calcular uma integral por substituição trigonométrica. Eles estão fora de ordem. Associe um número a cada um deles, coloque-os em ordem crescente, de maneira que o cálculo faça sentido, não esquecendo de escrever o sinal de igualdade entre cada um deles, quando for o caso.
d x=2 cos (theta) d theta integral 2 cos (theta)4 sen^2(theta) raiz4(1-sen^2(theta)) d theta cos ^2(theta)=1-x^24
cos (theta)=raiz4-x^22 integral 2 cos (theta)4 sen^2(theta) raiz4-4 sen^2(theta) d theta
integral 2 cos (theta)8 sen^2(theta) cos (theta) d theta -14 raiz4-x^2x+k -14 cotg(theta)+k
-14 cos (theta)sen(theta)+k x=2 sen(theta) -14 raiz4-x^2x+k
14 integral 1sen^2(theta) d theta 14 integral cosec^2(theta) d theta sen(theta)=x2

Boa Prova!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para organizar os passos de uma substituição trigonométrica na integral. A gente vai precisar entender um pouco sobre substituições trigonométricas e como elas ajudam a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, escolhemos a substituição adequada. Aqui, vamos usar . Isso significa que estamos relacionando a variável com a função seno de um ângulo .

Passo 3

Com essa substituição, podemos expressar . Isso é útil para substituir todas as ocorrências de por termos envolvendo .

Passo 4

Agora, derivamos ambos os lados da equação em relação a . Isso nos dá . Aqui, usamos a derivada da função seno, que é o cosseno.

Passo 5

Vamos relacionar com . Sabemos que . Substituindo por , temos .

Passo 6

Resolvendo para , obtemos . Isso é essencial para substituir o cosseno na integral.

Passo 7

Substituímos todas as partes na integral original:
integral 2 cos(theta)4 sen^2(theta) raiz4(1-sen^2(theta)) d theta = integral 2 cos(theta)8 sen^2(theta) cos(theta) d theta
Simplificando os termos semelhantes.

Passo 8

A integral simplificada fica:
14 integral 1sen^2(theta) d theta = 14 integral cosec^2(theta) d theta
Aqui, usamos a identidade .

Passo 9

Resolvendo a integral, temos:
-14 cotg(theta) + k
A integral de é .

Passo 10

Finalmente, substituímos -14 raiz4 - x^2x + k de volta em termos de . Sabemos que , então:

Resposta

-14 raiz4 - x^2x + k

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