A seguir estão os passos para se calcular uma integral por substituição trigonométrica. Eles estão fora de ordem. Associe um número a cada um deles, coloque-os em ordem crescente, de maneira que o cálculo faça sentido, não esquecendo de escrever o sinal de igualdade entre cada um deles, quando for o caso.
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Boa Prova!
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para organizar os passos de uma substituição trigonométrica na integral. A gente vai precisar entender um pouco sobre substituições trigonométricas e como elas ajudam a simplificar integrais complicadas.
Passo 2
Primeiro, escolhemos a substituição adequada. Aqui, vamos usar
. Isso significa que estamos relacionando a variável
com a função seno de um ângulo
.
Passo 3
Com essa substituição, podemos expressar
. Isso é útil para substituir todas as ocorrências de
por termos envolvendo
.
Passo 4
Agora, derivamos ambos os lados da equação
em relação a
. Isso nos dá
. Aqui, usamos a derivada da função seno, que é o cosseno.
Passo 5
Vamos relacionar
com
. Sabemos que
. Substituindo
por
, temos
.
Passo 6
Resolvendo para
, obtemos
. Isso é essencial para substituir o cosseno na integral.
Passo 7
Substituímos todas as partes na integral original:
Simplificando os termos semelhantes.
Passo 8
A integral simplificada fica:
Aqui, usamos a identidade
.
Passo 9
Resolvendo a integral, temos:
A integral de
é
.
Passo 10
Finalmente, substituímos
de volta em termos de
. Sabemos que
, então:
Resposta
Exercícios relacionados
(d)
Utilize a Transformada de Fourier para resolver ces problemas abaixo.
Utilize a Transformada de Fourier para resolver ces problemas abaixo.
Determine a Transformada de Fourier da seguinte função.
onde
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