Utilize a Transformada de Fourier para resolver os problemas abaixo.
l partial^2 upartial x^2+partial upartial x=partial upartial t u(x, 0)=e^-x^24, x in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Transformada de Fourier para solucionar uma equação diferencial parcial (EDP). A equação que nos foi dada é:
partial^2 upartial x^2 + partial upartial x = partial upartial t
E a condição inicial é:
u(x, 0) = e^-x^24, x in R
Então, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Fourier em equações diferenciais e como resolver a equação resultante para achar a solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Fourier em relação à variável u(k, t) = integral-infty^infty u(x, t) e^-ikx , dx . A Transformada de Fourier de uma função -k^2 u(k, t) + ik u(k, t) = partial upartial t é definida como:
Aplicando isso na nossa EDP, temos que transformar cada termo:
  • Para , a Transformada de Fourier é .
  • Para , a Transformada de Fourier é .
  • Para , como estamos transformando em relação a , isso fica .
Substituindo na equação:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) no domínio de Fourier:
partial upartial t + (k^2 - ik) u = 0
Essa é uma EDO linear de primeira ordem. A solução geral para uma equação da forma u(k, t) = u(k, 0) e^-a(k) t é:
u(k, t) = u(k, 0) e^-(k^2 - ik) t
No nosso caso, , então:

Passo 4

Precisamos agora encontrar integral-infty^infty e^-x^24 e^-ikx , dx = raiz4pi e^-k^2 , que é a Transformada de Fourier da condição inicial u(k, t) = raiz4pi e^-k^2 e^-(k^2 - ik) t = raiz4pi e^-k^2 (1 + t) e^ik t .
Sabemos que:
Portanto, .
Substituindo na solução:

Passo 5

Agora, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Fourier para voltar ao domínio de u(x, t) = 12pi integral-infty^infty u(k, t) e^ikx , dk e encontrar u(x, t) = raiz4pi2pi integral-infty^infty e^-k^2 (1 + t) e^ik t e^ikx , dk = raizpiraizpi integral-infty^infty e^-k^2 (1 + t) e^ik(x + t) , dk :
integral-infty^infty e^-a k^2 e^ikb , dk = raizpia e^-b^24a
Substituindo u(x, t) = e^-(x + t)^24(1 + t) :
A integral resultante é uma Transformada de Fourier de uma função gaussiana, que sabemos que é:
Aqui, e , então:

Resposta

A solução da EDP é
u(x, t) = e^-(x + t)^24(1 + t)

Exercícios relacionados

Determine a Transformada de Fourier da seguinte função.
f(x) = x^3 e^(-a x) U(x) = { x^3 e^(-a x), se x ≥ 0; 0, se x < 0 }
onde a > 0.
Utilize a Transformada de Fourier para resolver ces problemas abaixo.
l partial^2 upartial x^2=partial upartial t u(x, 0)=x e^-x^2, x in R
Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.
lim t 1(t^2-1t-1, raizt-1t-1, t^3-1t-1)
Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.
lim t 2(t^3-8t^2-4, t^2-5 t+6t-2, t-2t-3)