Utilize a Transformada de Fourier para resolver os problemas abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a Transformada de Fourier para solucionar uma equação diferencial parcial (EDP). A equação que nos foi dada é:
E a condição inicial é:
Então, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Fourier em equações diferenciais e como resolver a equação resultante para achar a solução final.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Fourier em relação à variável
. A Transformada de Fourier de uma função
é definida como:
Aplicando isso na nossa EDP, temos que transformar cada termo:
- Para
, a Transformada de Fourier é . - Para
, a Transformada de Fourier é . - Para
, como estamos transformando em relação a , isso fica .
Substituindo na equação:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) no domínio de Fourier:
Essa é uma EDO linear de primeira ordem. A solução geral para uma equação da forma
é:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Precisamos agora encontrar
, que é a Transformada de Fourier da condição inicial
.
Sabemos que:
Portanto,
.
Substituindo na solução:
Passo 5
Agora, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Fourier para voltar ao domínio de
e encontrar
:
Substituindo
:
A integral resultante é uma Transformada de Fourier de uma função gaussiana, que sabemos que é:
Aqui,
e
, então:
Resposta
A solução da EDP é
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Determine a Transformada de Fourier da seguinte função.
onde
.
Utilize a Transformada de Fourier para resolver ces problemas abaixo.
Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.
Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.