Determine a transformada e a integral de Fourier das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função que é igual a quando está entre e , e igual a zero fora desse intervalo. O objetivo aqui é encontrar a Transformada de Fourier dessa função e também calcular a Integral de Fourier. Para isso, vamos precisar entender como funciona a Transformada de Fourier e como aplicar as integrais necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Transformada de Fourier. Basicamente, ela transforma uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula da Transformada de Fourier é:
Aqui, representa a frequência. Essa transformação nos ajuda a analisar as diferentes frequências que compõem a função original.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa função . Sabemos que para e zero caso contrário. Então, a Transformada de Fourier fica:
Isso porque fora desse intervalo, , então não precisa considerar além de a .
Passo 4
Para resolver essa integral, podemos usar a identidade de Euler para a função cosseno:
Substituindo na integral:
Simplificando os expoentes:
Passo 5
Essas integrais são de funções exponenciais que podemos integrar facilmente:
Aplicando isso, temos:
Calculando os limites:
Sabendo que , podemos simplificar:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, para a Integral de Fourier, que é basicamente a transformação inversa, usamos a seguinte fórmula:
No entanto, como já temos , essa integral nos permitiria reconstruir a função original . Mas como nossa função é finita e simétrica, a integral de Fourier confirma que a Transformada de Fourier foi calculada corretamente.