Determine a transformada e a integral de Fourier das funções abaixo:
f(x) = { cos(x) se x^2 <= pi^2 / 4, 0 se x^2 >= pi^2 / 4 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função que é igual a quando está entre e , e igual a zero fora desse intervalo. O objetivo aqui é encontrar a Transformada de Fourier dessa função e também calcular a Integral de Fourier. Para isso, vamos precisar entender como funciona a Transformada de Fourier e como aplicar as integrais necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Transformada de Fourier. Basicamente, ela transforma uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula da Transformada de Fourier é:
Aqui, representa a frequência. Essa transformação nos ajuda a analisar as diferentes frequências que compõem a função original.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa função . Sabemos que para e zero caso contrário. Então, a Transformada de Fourier fica:
Isso porque fora desse intervalo, , então não precisa considerar além de a .

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos usar a identidade de Euler para a função cosseno:
Substituindo na integral:
Simplificando os expoentes:

Passo 5

Essas integrais são de funções exponenciais que podemos integrar facilmente:
Aplicando isso, temos:
Calculando os limites:
Sabendo que , podemos simplificar:
Simplificando os termos:

Passo 6

Agora, para a Integral de Fourier, que é basicamente a transformação inversa, usamos a seguinte fórmula:
No entanto, como já temos , essa integral nos permitiria reconstruir a função original . Mas como nossa função é finita e simétrica, a integral de Fourier confirma que a Transformada de Fourier foi calculada corretamente.

Resposta

A Transformada de Fourier da fun��ão é:
E a Integral de Fourier confirma que:

Exercícios relacionados