Obtenha as expansões em meia onda (em seno e cosseno), de cada função abaixo:
e
não é um número inteiro
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de séries de Fourier, especificamente as expansões em meia onda. A função que vamos analisar é
no intervalo
, e o valor de
não é inteiro. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir funções em séries de seno e cosseno usando as propriedades das funções trigonométricas e das integrais para encontrar os coeficientes das séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier permite representar uma função como uma soma infinita de senos e cossenos. No caso das expansões em meia onda, estamos trabalhando no intervalo de
a
. A forma geral da série de Fourier para
nesse intervalo é:
Aqui,
é o termo constante,
são os coeficientes das funções cosseno, e
são os coeficientes das funções seno.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os coeficientes
e
. Para isso, usamos as fórmulas de Fourier que envolvem integrais:
Além disso, o termo constante
é dado por:
Mas como nossa função
é uma função par (simétrica em relação ao eixo y), os coeficientes
vão ser zero. Então, só precisamos calcular os
.
Passo 4
Vamos calcular o termo constante
:
Integrando:
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Usamos a identidade trigonométrica para o produto de cossenos:
Então:
Integrando cada termo:
Então:
Mas sabemos que
para qualquer inteiro
, mas como
não é inteiro, esses termos não necessariamente são zero.
Passo 5
Simplificando a expressão para
, temos:
Podemos reescrever isso usando as propriedades das funções trigonométricas:
Portanto, a série de Fourier para
no intervalo
é:
Resposta
A expansão em meia onda de
para
é dada por: