Obtenha as expansões em meia onda (em seno e cosseno), de cada função abaixo:
f(x) = cos(a x), 0 < x <= pi e a não é um número inteiro

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de séries de Fourier, especificamente as expansões em meia onda. A função que vamos analisar é no intervalo , e o valor de não é inteiro. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir funções em séries de seno e cosseno usando as propriedades das funções trigonométricas e das integrais para encontrar os coeficientes das séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier permite representar uma função como uma soma infinita de senos e cossenos. No caso das expansões em meia onda, estamos trabalhando no intervalo de a . A forma geral da série de Fourier para nesse intervalo é:
Aqui, é o termo constante, são os coeficientes das funções cosseno, e são os coeficientes das funções seno.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os coeficientes e . Para isso, usamos as fórmulas de Fourier que envolvem integrais:
Além disso, o termo constante é dado por:
Mas como nossa função é uma função par (simétrica em relação ao eixo y), os coeficientes vão ser zero. Então, só precisamos calcular os .

Passo 4

Vamos calcular o termo constante :
Integrando:
Agora, vamos calcular os coeficientes :
Usamos a identidade trigonométrica para o produto de cossenos:
Então:
Integrando cada termo:
Então:
Mas sabemos que para qualquer inteiro , mas como não é inteiro, esses termos não necessariamente são zero.

Passo 5

Simplificando a expressão para , temos:
Podemos reescrever isso usando as propriedades das funções trigonométricas:
Portanto, a série de Fourier para no intervalo é:

Resposta

A expansão em meia onda de para é dada por:

Exercícios relacionados