Determine a transformada e a integral de Fourier das funções abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender qual é o exercício. Precisamos determinar a transformada de Fourier e a integral de Fourier da função:
Para isso, vamos utilizar conceitos de Análise de Fourier, que nos permitem representar funções em termos de senos, cossenos ou exponenciais. Precisamos calcular a transformada de Fourier dessa função e, em seguida, expressar a função original usando a integral de Fourier.
Passo 2
Vamos começar calculando a transformada de Fourier de
. A transformada de Fourier
é definida por:
No nosso caso, como
para
, a integral se reduz ao intervalo de
a
:
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes. Lembrando que, em integração por partes, escolhemos partes da função para derivar e outras para integrar. Vamos definir:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
A segunda integral é simples de calcular:
Substituindo de volta:
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de
a
:
Calculando para
:
E para
:
Subtraindo os dois resultados:
Usando as identidades de Euler:
Substituindo:
Resposta
A transformada de Fourier da função
é: