Determine a transformada e a integral de Fourier das funções abaixo:
f(x) = { x, se x^2 < 1; 0, se x^2 > 1 }

Passo 1

Primeiro, vamos entender qual é o exercício. Precisamos determinar a transformada de Fourier e a integral de Fourier da função:
Para isso, vamos utilizar conceitos de Análise de Fourier, que nos permitem representar funções em termos de senos, cossenos ou exponenciais. Precisamos calcular a transformada de Fourier dessa função e, em seguida, expressar a função original usando a integral de Fourier.

Passo 2

Vamos começar calculando a transformada de Fourier de . A transformada de Fourier é definida por:
No nosso caso, como para , a integral se reduz ao intervalo de a :

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes. Lembrando que, em integração por partes, escolhemos partes da função para derivar e outras para integrar. Vamos definir:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
A segunda integral é simples de calcular:
Substituindo de volta:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de a :
Calculando para :
E para :
Subtraindo os dois resultados:
Usando as identidades de Euler:
Substituindo:

Resposta

A transformada de Fourier da função é:

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