Determine a transformada e a integral de Fourier das funções abaixo:
f(x)=e^-x^2 (dica: use integral0^infty e^-x^2 d x=raizpi / 2 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Fourier e a integral de Fourier da função . Vamos usar conhecimentos de Análise de Fourier, que estuda como representar funções como somas de ondas senoidais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma fórmula importante para integrar funções do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a transformada de Fourier. Ela transforma uma função no domínio do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências. A fórmula da transformada de Fourier é:
Ff(x) = integral-infty^infty f(x) e^-ikx , dx
No nosso caso, Fe^-x^2 = integral-infty^infty e^-x^2 e^-ikx , dx , então precisamos calcular:

Passo 3

Vamos simplificar essa integral. Primeiro, combinamos os expoentes:
-e^x^2 e^-ikx = e^-x^2 - ikx
Agora, completamos o quadrado no expoente para facilitar a integração. Reescrevemos:
-x^2 - ikx = -(x^2 + ikx)
Completando o quadrado:
x^2 + ikx = (x + ik2)^2 - k^24
Então,
-e^x^2 + ikx = -((x + ik2)^2 - k^24) = -(x + ik2)^2 + k^24
Portanto, a integral fica:
integral-infty^infty e^-x^2 - ikx , dx = e^-k^24 integral-infty^infty e^-(x + ik2)^2 , dx

Passo 4

Aí entra a dica que foi dada: sabemos que
integral0^infty e^-x^2 , dx = raizpi2
Na verdade, a integral completa de integral-infty^infty e^-x^2 , dx = raizpi de integral-infty^infty e^-(x + ik2)^2 , dx = raizpi a Fe^-x^2 = e^-k^24 cdot raizpi é:
Então, aplicando isso na nossa integral, temos:
Portanto:

Resposta

A transformada de Fourier da função Fe^-x^2 = raizpi , e^-k^24 é:
E a integral de Fourier associada é .

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