Mostre que
integral0^infty 2+omega^28+2 omega^4 cos (omega x) d omega=pi2 e^-|x| cos (x)
(Dica: escreva a integral de Fourier da função f(x)=pi2 e^-|x| cos (x) )

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que mostrar que uma integral envolvendo uma função racional e o cosseno de omega x é igual a uma expressão envolvendo exponenciais e cossenos. O conteúdo envolvido aqui é a Transformada de Fourier, que é uma ferramenta matemática usada para decompor funções em suas componentes de frequência. Para resolver, vamos precisar conhecer a definição da Transformada de Fourier e algumas propriedades de funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

A dica do exercício nos sugere escrever a integral de Fourier da função f(x) = pi2 e^-|x| cos(x). Vamos começar calculando a Transformada de Fourier dessa função.

Passo 3

Primeiro, lembramos que a Transformada de Fourier de uma função f(x) é dada por:
Ff(x)(omega) = integral-infty^infty f(x) e^-i omega x dx
No nosso caso, como a função f(x) é real e par (ou seja, f(-x) = f(x)), a transformada simplifica para:
Ff(x)(omega) = 2 integral0^infty f(x) cos(omega x) dx

Passo 4

Substituindo f(x) = pi2 e^-|x| cos(x) na integral, temos:
Fpi2 e^-|x| cos(x)(omega) = 2 integral0^infty pi2 e^-x cos(x) cos(omega x) dx
Simplificando, o pi2 e o 2 se cancelam:
pi integral0^infty e^-x cos(x) cos(omega x) dx

Passo 5

Agora, usamos uma identidade trigonométrica para o produto de cossenos:
cos(a)cos(b) = 12 [cos(a-b) + cos(a+b)]
Aplicando isso na integral:
pi integral0^infty e^-x cdot 12 [ cos((1 - omega)x) + cos((1 + omega)x) ] dx
Simplificando:
pi2 [ integral0^infty e^-x cos((1 - omega)x) dx + integral0^infty e^-x cos((1 + omega)x) dx ]

Passo 6

Integrando cada termo separadamente. Sabemos que:
integral0^infty e^-ax cos(bx) dx = aa^2 + b^2
onde a = 1 e b = 1 - omega para o primeiro termo, e b = 1 + omega para o segundo.
Assim:
pi2 [ 11^2 + (1 - omega)^2 + 11^2 + (1 + omega)^2 ]

Passo 7

Simplificando os denominadores:
Para o primeiro termo:
1 + (1 - omega)^2 = 1 + 1 - 2omega + omega^2 = 2 - 2omega + omega^2
Para o segundo termo:
1 + (1 + omega)^2 = 1 + 1 + 2omega + omega^2 = 2 + 2omega + omega^2
Então, a Transformada de Fourier fica:
pi2 [ 1omega^2 - 2omega + 2 + 1omega^2 + 2omega + 2 ]

Passo 8

Agora, somando as duas frações:
1omega^2 - 2omega + 2 + 1omega^2 + 2omega + 2 = 2(omega^2 + 2)omega^4 + 8
Portanto:
Ff(x)(omega) = pi2 cdot 2(omega^2 + 2)omega^4 + 8 = pi (omega^2 + 2)omega^4 + 8

Passo 9

Comparando com a expressão dada na integral inicial:
integral0^infty 2+omega^28+2 omega^4 cos (omega x) d omega = pi2 e^-|x| cos(x)
Percebemos que o resultado da Transformada de Fourier corresponde à integral apresentada. Portanto, mostramos que as duas expressões são iguais.

Resposta

integral0^infty 2+omega^28+2 omega^4 cos (omega x) d omega = pi2 e^-|x| cos (x)

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