Mostre que
(Dica: escreva a integral de Fourier da função
)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que mostrar que uma integral envolvendo uma função racional e o cosseno de
é igual a uma expressão envolvendo exponenciais e cossenos. O conteúdo envolvido aqui é a Transformada de Fourier, que é uma ferramenta matemática usada para decompor funções em suas componentes de frequência. Para resolver, vamos precisar conhecer a definição da Transformada de Fourier e algumas propriedades de funções trigonométricas e exponenciais.
Passo 2
A dica do exercício nos sugere escrever a integral de Fourier da função
. Vamos começar calculando a Transformada de Fourier dessa função.
Passo 3
Primeiro, lembramos que a Transformada de Fourier de uma função
é dada por:
No nosso caso, como a função
é real e par (ou seja,
), a transformada simplifica para:
Passo 4
Substituindo
na integral, temos:
Simplificando, o
e o 2 se cancelam:
Passo 5
Agora, usamos uma identidade trigonométrica para o produto de cossenos:
Aplicando isso na integral:
Simplificando:
Passo 6
Integrando cada termo separadamente. Sabemos que:
onde
e
para o primeiro termo, e
para o segundo.
Assim:
Passo 7
Simplificando os denominadores:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Então, a Transformada de Fourier fica:
Passo 8
Agora, somando as duas frações:
Portanto:
Passo 9
Comparando com a expressão dada na integral inicial:
Percebemos que o resultado da Transformada de Fourier corresponde à integral apresentada. Portanto, mostramos que as duas expressões são iguais.