Sendo a transformada de Fourier de , demonstre que a transformada de Fourier de
é dada por
em que é uma constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre Transformada de Fourier, que é uma ferramenta super útil na análise de sinais e sistemas. O enunciado nos pede para demonstrar que a transformada de Fourier de é igual a , onde é a transformada de Fourier de e é uma constante. Para resolver isso, vamos precisar entender a propriedade de modulação da Transformada de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar uma propriedade importante da Transformada de Fourier: quando você multiplica uma função no domínio do tempo por uma exponencial complexa , isso corresponde a um deslocamento na frequência na transformada. Matemáticamente, essa propriedade é expressa como:
Ou seja, a multiplicação por desloca a transformada de Fourier de em .

Passo 3

Agora, aplicando essa propriedade ao nosso caso, temos que a transformada de Fourier de será:
Aqui, é a transformada de Fourier de , então estamos simplesmente deslocando a frequência em .

Passo 4

No enunciado, foi definido que é a transformada de Fourier de . Para manter a consistência com essa notação, podemos reescrever a expressão deslocada como:
Assim, a transformada de Fourier de fica expressa na forma desejada.

Resposta

Portanto, a transformada de Fourier de é dada por

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Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(i)
R.:
Sendo , caso seja possível, expanda em uma série de senos no intervalo . Justifique a sua resposta.
Escreva o Dominio Df das seguintes funções e esboce Df graficamente.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
Dado que , demonstre que
e