Sendo
a transformada de Fourier de
, demonstre que a transformada de Fourier de
é dada por
em que
é uma constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre Transformada de Fourier, que é uma ferramenta super útil na análise de sinais e sistemas. O enunciado nos pede para demonstrar que a transformada de Fourier de
é igual a
, onde
é a transformada de Fourier de
e
é uma constante. Para resolver isso, vamos precisar entender a propriedade de modulação da Transformada de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar uma propriedade importante da Transformada de Fourier: quando você multiplica uma função no domínio do tempo por uma exponencial complexa
, isso corresponde a um deslocamento na frequência na transformada. Matemáticamente, essa propriedade é expressa como:
Ou seja, a multiplicação por
desloca a transformada de Fourier de
em
.
Passo 3
Agora, aplicando essa propriedade ao nosso caso, temos que a transformada de Fourier de
será:
Aqui,
é a transformada de Fourier de
, então estamos simplesmente deslocando a frequência em
.
Passo 4
No enunciado, foi definido que
é a transformada de Fourier de
. Para manter a consistência com essa notação, podemos reescrever a expressão deslocada como:
Assim, a transformada de Fourier de
fica expressa na forma desejada.
Resposta
Portanto, a transformada de Fourier de
é dada por