Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(e) L^{-1}(1/(s-1)^{3})
R.: t^2 e^(-2 t) / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace inversa juntos! O que precisamos fazer aqui é encontrar a função no tempo que, quando transformada pela Transformada de Laplace, resulta em . Para isso, vamos usar algumas propriedades básicas da Transformada de Laplace e suas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma fórmula básica da Transformada de Laplace inversa. Sabemos que:
Aqui, a é uma constante e n é um número inteiro positivo. Essa fórmula nos ajuda a encontrar a função no tempo correspondente a formas específicas no domínio de s.

Passo 3

No nosso caso, a função que temos é . Comparando com a fórmula geral, vemos que:

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula da Transformada de Laplace inversa:
Simplificando os termos:

Resposta

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