Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(e)
R.:
(e)
R.:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a Transformada de Laplace da função
. A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que transforma funções do tempo
para uma variável complexa
, facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo.
Passo 2
Primeiro, é bom lembrar que a Transformada de Laplace é linear. Isso significa que a transformada da soma de funções é igual à soma das transformadas de cada função individualmente. Matematicamente, temos:
Aplicando isso à nossa função
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace de cada termo individualmente.
-
Para
: Existe uma fórmula padrão para a Transformada de Laplace de: Ondeé o fatorial de . No nosso caso, : -
Para
: A Transformada de Laplace também respeita constantes multiplicativas. Ou seja:Então, para: E sabemos que:Portanto: -
Para
: A Transformada de Laplace de uma constanteé: No nosso caso:
Passo 4
Agora, juntamos todas as transformadas que calculamos:
Resposta
A Transformada de Laplace da função
é:
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Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(f)
R.:
(f)
R.:
Note que tanto o primeiro quanto o segundo limite são indeterminações do tipo
, enquanto o último pode ser resolvido com as regras usuais do limite.
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.
(a)
(b)
©
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.
(a)
(b)
©
Considere a função
.
(b) Verifique que a função é diferenciável.
(b) Verifique que a função é diferenciável.
Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(e)
R.:
(e)
R.: