Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(e)
R.:

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a Transformada de Laplace da função . A Transformada de Laplace é uma ferramenta matemática que transforma funções do tempo para uma variável complexa , facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo.

Passo 2

Primeiro, é bom lembrar que a Transformada de Laplace é linear. Isso significa que a transformada da soma de funções é igual à soma das transformadas de cada função individualmente. Matematicamente, temos:
Aplicando isso à nossa função :

Passo 3

Agora, vamos calcular a Transformada de Laplace de cada termo individualmente.
  1. Para :
    Existe uma fórmula padrão para a Transformada de Laplace de :
    Onde é o fatorial de . No nosso caso, :
  2. Para :
    A Transformada de Laplace também respeita constantes multiplicativas. Ou seja:
    Então, para :
    E sabemos que:
    Portanto:
  3. Para :
    A Transformada de Laplace de uma constante é:
    No nosso caso:

Passo 4

Agora, juntamos todas as transformadas que calculamos:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

Exercícios relacionados

Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(f)
R.:
Note que tanto o primeiro quanto o segundo limite são indeterminações do tipo , enquanto o último pode ser resolvido com as regras usuais do limite.
Use a ideia acima para resolver os limites abaixo.
(a)
(b)
©
Considere a função .
(b) Verifique que a função é diferenciável.
Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(e)
R.: