Marque o ponto cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre as coordenadas cartesianas do ponto. .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de coordenadas polares e cartesianas. O problema nos dá as coordenadas polares de um ponto, que são . Nosso objetivo é primeiro identificar onde esse ponto está no plano polar e depois converter essas coordenadas polares para coordenadas cartesianas, que são mais comumente usadas no dia a dia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, um ponto é descrito por dois valores: a distância do ponto até a origem (denotada por ) e o ângulo que a linha que liga a origem ao ponto faz com o eixo positivo dos . No nosso caso, e .
Passo 3
Agora, vamos determinar a posição do ponto no plano polar. O ângulo significa que estamos girando no sentido horário a partir do eixo positivo dos , já que o ângulo é negativo. radianos é equivalente a 120 graus, então estamos girando 120 graus para o lado negativo (sentido horário).
Passo 4
Para converter as coordenadas polares para coordenadas cartesianas , usamos as seguintes fórmulas:
Essas fórmulas derivam da definição de funções trigonométricas no triângulo retângulo formado pelas coordenadas.
Passo 5
Vamos calcular :
Sabemos que o cosseno é uma função que é par, ou seja, . Então:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos calcular :
Sabemos que o seno é uma função ímpar, ou seja, . Então:
Portanto: