Marque o ponto cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre as coordenadas cartesianas do ponto. (2, -2 pi / 3).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de coordenadas polares e cartesianas. O problema nos dá as coordenadas polares de um ponto, que são . Nosso objetivo é primeiro identificar onde esse ponto está no plano polar e depois converter essas coordenadas polares para coordenadas cartesianas, que são mais comumente usadas no dia a dia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, um ponto é descrito por dois valores: a distância do ponto até a origem (denotada por r) e o ângulo theta que a linha que liga a origem ao ponto faz com o eixo positivo dos x. No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos determinar a posição do ponto no plano polar. O ângulo significa que estamos girando no sentido horário a partir do eixo positivo dos x, já que o ângulo é negativo. radianos é equivalente a 120 graus, então estamos girando 120 graus para o lado negativo (sentido horário).

Passo 4

Para converter as coordenadas polares (r, θ) para coordenadas cartesianas (x, y), usamos as seguintes fórmulas:
Essas fórmulas derivam da definição de funções trigonométricas no triângulo retângulo formado pelas coordenadas.

Passo 5

Vamos calcular x:
Sabemos que o cosseno é uma função que é par, ou seja, . Então:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos calcular y:
Sabemos que o seno é uma função ímpar, ou seja, . Então:
Portanto:

Resposta

As coordenadas cartesianas do ponto são .

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