Considere a função
.
(b) Verifique que a função é diferenciável.
(b) Verifique que a função é diferenciável.
Passo 1
Então, a gente tem a função
e o desafio aqui é verificar se ela é diferenciável. Diferenciabilidade é um conceito que basicamente nos diz se a função tem uma boa aproximação linear em torno de um ponto, ou seja, se ela pode ser bem aproximada por um plano nesse ponto. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a cada variável e verificar se elas são contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas. Olhando para as expressões das derivadas parciais, percebemos que são combinações de funções exponenciais e polinomiais, que são contínuas por natureza. Portanto, todas as derivadas parciais de
são contínuas em todo o espaço
.
Passo 4
Segundo o Teorema da Diferenciabilidade, se todas as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto. Como mostramos que as derivadas parciais de
são contínuas em qualquer ponto
, podemos concluir que
é diferenciável em todo o seu domínio.
Resposta
A função
é diferenciável para todos os valores de
,
e
.
Exercícios relacionados
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(e)
R.:
(e)
R.:
Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(f)
R.:
(f)
R.:
Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(e)
R.:
(e)
R.:
Marque o ponto cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre as coordenadas cartesianas do ponto.
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