Determine a transformada de Laplace de:
L^{-1}(1/(s(s^{2}+4)))

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Isso envolve o conteúdo de transformadas de Laplace e, especificamente, a técnica de frações parciais. Vamos precisar decompor essa expressão em partes mais simples para facilitar a aplicação das fórmulas conhecidas de transformadas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma decomposição em frações parciais da expressão . Ou seja, queremos escrever essa fração como a soma de frações mais simples. Assumimos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de , e . Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Reorganizando:
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de nos dois lados da equação:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Termo constante:
Resolvendo:
  • De , temos .
  • De , com , então .
  • Já sabemos que .

Passo 4

Com os valores de , e encontrados, a decomposição fica:
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa:
Aqui, usamos que , com .

Resposta

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