Determine a transformada de Laplace de:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função
. Isso envolve o conteúdo de transformadas de Laplace e, especificamente, a técnica de frações parciais. Vamos precisar decompor essa expressão em partes mais simples para facilitar a aplicação das fórmulas conhecidas de transformadas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma decomposição em frações parciais da expressão
. Ou seja, queremos escrever essa fração como a soma de frações mais simples. Assumimos que:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
,
e
. Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Reorganizando:
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos poderes de
nos dois lados da equação:
- Para
: - Para
: - Termo constante:
Resolvendo:
- De
, temos . - De
, com , então . - Já sabemos que
.
Passo 4
Com os valores de
,
e
encontrados, a decomposição fica:
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente.
Passo 5
Aplicando a transformada inversa:
Aqui, usamos que
, com
.