Dê um exemplo de uma função limitada
, que se anula fora de um conjunto de medida nula, mas não é integrável. Mostre que, nestas condições, se
é integrável, então sua integral é igual a zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente dar um exemplo de uma função limitada
que é igual a zero fora de um conjunto de medida nula, mas que não é integrável. Depois, temos que mostrar que, se essa função for integrável, então a integral dela será zero. Basicamente, vamos trabalhar com conceitos de análise real, como funções limitadas, medida nula e integrabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função limitada. Uma função
é limitada em um intervalo
se existe um número
tal que para todo
em
,
. Isso significa que os valores da função não “sobem” além de um certo limite.
Passo 3
Agora, precisamos de um conjunto de medida nula. Um conjunto tem medida nula se, intuitivamente, ele ocupa “nenhum espaço” dentro do intervalo. Por exemplo, um único ponto ou uma sequência contável de pontos em
tem medida nula.
Passo 4
Vamos construir nossa função
. Considere
ser igual a 1 para
pertencente a
(os números racionais no intervalo) e 0 caso contrário. Ou seja:
Essa função é limitada porque seus valores são sempre 0 ou 1. Ela se anula fora dos racionais, que formam um conjunto de medida nula no intervalo
.
Passo 5
Agora, vamos analisar a integrabilidade dessa função. No caso das integrais de Riemann, uma função é integrável se o conjunto de seus pontos de descontinuidade tem medida nula. Nossa função
é descontinua em todos os pontos de
, já que entre quaisquer dois números reais há racionais e irracionais. Como o conjunto de descontinuidades não tem medida nula,
não é integrável no sentido de Riemann.
Passo 6
Porém, se assumirmos que
é integrável (em outro sentido de integração, como a de Lebesgue), então a integral de
seria baseada na medida do conjunto onde
é diferente de zero. Como esse conjunto tem medida nula, a integral de
seria:
Resposta
A função
definida por
é limitada, se anula fora de um conjunto de medida nula e não é integrável. Além disso, se
for integrável, então sua integral é igual a zero.
Exercícios relacionados
Seja
derivável, com
integrável. Prove que, para quaisquer
, tem-se
. Conclua que o TFC vale com
Sejam
contínua e
deriváveis. Defina
pondo
, para todo
. Prove que
é derivável e
.
Use convolução para achar:
Determine a transformada de Laplace de: