Use convolução para achar:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace de uma integral usando convolução. Especificamente, queremos calcular:
Para isso, vamos utilizar o teorema da convolução, que relaciona a transformada de Laplace de uma integral de convolução com o produto das transformadas de Laplace das funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a integral dada é uma convolução entre as funções
e
. A convolução é definida como:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Segundo o teorema da convolução, a transformada de Laplace da convolução
é igual ao produto das transformadas de Laplace de
e
:
Passo 4
Vamos calcular a transformada de Laplace de cada função separadamente.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, aplicamos o teorema da convolução multiplicando as transformadas encontradas:
Passo 6
Simplificamos a expressão resultante:
Resposta
Exercícios relacionados
Dê um exemplo de uma função limitada
, que se anula fora de um conjunto de medida nula, mas não é integrável. Mostre que, nestas condições, se
é integrável, então sua integral é igual a zero.
Seja
derivável, com
integrável. Prove que, para quaisquer
, tem-se
. Conclua que o TFC vale com
Determine a transformada de Laplace de:
Determine a transformada de Laplace de: