Use convolução para achar:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace de uma integral usando convolução. Especificamente, queremos calcular:
Para isso, vamos utilizar o teorema da convolução, que relaciona a transformada de Laplace de uma integral de convolução com o produto das transformadas de Laplace das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a integral dada é uma convolução entre as funções e . A convolução é definida como:
No nosso caso, e .

Passo 3

Segundo o teorema da convolução, a transformada de Laplace da convolução é igual ao produto das transformadas de Laplace de e :

Passo 4

Vamos calcular a transformada de Laplace de cada função separadamente.
Para :
Para :

Passo 5

Agora, aplicamos o teorema da convolução multiplicando as transformadas encontradas:

Passo 6

Simplificamos a expressão resultante:

Resposta

Exercícios relacionados

Dê um exemplo de uma função limitada , que se anula fora de um conjunto de medida nula, mas não é integrável. Mostre que, nestas condições, se é integrável, então sua integral é igual a zero.
Seja derivável, com integrável. Prove que, para quaisquer , tem-se . Conclua que o TFC vale com
Determine a transformada de Laplace de:
Determine a transformada de Laplace de: