Use convolução para achar:
Lintegral0^t(t-tau)^2 cos 2 tau d tau

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace de uma integral usando convolução. Especificamente, queremos calcular:
Lintegral0^t(t-tau)^2 cos 2 tau , dtau
Para isso, vamos utilizar o teorema da convolução, que relaciona a transformada de Laplace de uma integral de convolução com o produto das transformadas de Laplace das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a integral dada é uma convolução entre as funções (f * g)(t) = integral0^t f(t-tau) g(tau) , dtau e . A convolução é definida como:
No nosso caso, e .

Passo 3

Segundo o teorema da convolução, a transformada de Laplace da convolução Lf * g = Lf cdot Lg é igual ao produto das transformadas de Laplace de e :

Passo 4

Vamos calcular a transformada de Laplace de cada função separadamente.
Para Lt^n = n!s^n+1 Rightarrow Lt^2 = 2!s^3 = 2s^3 :
Lcos at = ss^2 + a^2 Rightarrow Lcos 2t = ss^2 + 4
Para :

Passo 5

Agora, aplicamos o teorema da convolução multiplicando as transformadas encontradas:
Lintegral0^t(t-tau)^2 cos 2 tau , dtau = Lt^2 cdot Lcos 2t = 2s^3 cdot ss^2 + 4

Passo 6

Simplificamos a expressão resultante:
2s^3 cdot ss^2 + 4 = 2ss^3(s^2 + 4) = 2s^2(s^2 + 4)

Resposta

Lintegral0^t(t-tau)^2 cos 2 tau , dtau = 2s^2(s^2 + 4)

Exercícios relacionados