Determine três números positivos cuja soma é 27 e tais que seu produto é o maior possível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar três números positivos que somados dão 27 e, além disso, o produto deles precisa ser o maior possível. Para isso, vamos usar um conceito da matemática chamado Desigualdade entre a Média Aritmética e a Média Geométrica (AM-GM), que nos ajuda a encontrar o máximo ou mínimo de produtos dado um certo somatório.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os três números de , e . Sabemos que:
Nosso objetivo é maximizar o produto desses números:

Passo 3

A Desigualdade AM-GM afirma que, para números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica. Ou seja:

Passo 4

Vamos aplicar essa desigualdade ao nosso caso. Como , a média aritmética é:
Então, temos:

Passo 5

Elevando ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz, obtemos:
Isso significa que o produto não pode ser maior que 729.

Passo 6

A igualdade na desigualdade AM-GM acontece quando todos os números são iguais. Portanto, para que o produto seja máximo, devemos ter:

Passo 7

Como a soma deles é 27 e todos são iguais, cada número deve ser:

Resposta

Os três números que satisfazem as condições são 9, 9 e 9, e o produto máximo é 729.

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