Determine três números positivos cuja soma é 27 e tais que seu produto é o maior possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar três números positivos que somados dão 27 e, além disso, o produto deles precisa ser o maior possível. Para isso, vamos usar um conceito da matemática chamado Desigualdade entre a Média Aritmética e a Média Geométrica (AM-GM), que nos ajuda a encontrar o máximo ou mínimo de produtos dado um certo somatório.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os três números de
,
e
. Sabemos que:
Nosso objetivo é maximizar o produto desses números:
Passo 3
A Desigualdade AM-GM afirma que, para números positivos, a média aritmética é sempre maior ou igual à média geométrica. Ou seja:
Passo 4
Vamos aplicar essa desigualdade ao nosso caso. Como
, a média aritmética é:
Então, temos:
Passo 5
Elevando ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz, obtemos:
Isso significa que o produto
não pode ser maior que 729.
Passo 6
A igualdade na desigualdade AM-GM acontece quando todos os números são iguais. Portanto, para que o produto seja máximo, devemos ter:
Passo 7
Como a soma deles é 27 e todos são iguais, cada número deve ser:
Resposta
Os três números que satisfazem as condições são 9, 9 e 9, e o produto máximo é 729.