Resolver as seguintes equações homogêneas x^2 - x*y + y^2 = x*y*y' (x*y ≠ 0).

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial homogênea . Essa equação pertence ao estudo das equações diferenciais de primeira ordem, especificamente das equações homogêneas. Para resolvê-la, vamos utilizar uma substituição que simplifica a equação e facilita a resolução.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição . Isso implica que . Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Derivando em relação a , temos:

Passo 3

Substituímos e na equação original:
Substituindo e :

Passo 4

Simplificamos os termos:
Dividindo ambos os lados por (já que ):

Passo 5

Expandimos o lado direito da igualdade:
Subtraímos de ambos os lados:

Passo 6

Isolamos :

Passo 7

Agora, temos uma equação que é separável. Vamos separar as variáveis e :

Passo 8

Rearranjamos para separar completamente as variáveis:

Passo 9

Integramos ambos os lados:
Para resolver a integral do lado esquerdo, fazemos a substituição , então . Assim:
A integral do lado direito é:

Passo 10

Igualando as integrais:
Podemos reescrever a constante para simplificar:

Passo 11

Substituímos de volta na equação:

Passo 12

Esta é a solução implícita da equação diferencial dada. Para simplificar, podemos rearranjar os termos:
Podemos combinar os logaritmos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Onde é a constante de integração.

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