Resolver as seguintes equações homogêneas
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial homogênea
. Essa equação pertence ao estudo das equações diferenciais de primeira ordem, especificamente das equações homogêneas. Para resolvê-la, vamos utilizar uma substituição que simplifica a equação e facilita a resolução.
Passo 2
Primeiro, fazemos a substituição
. Isso implica que
. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Derivando
em relação a
, temos:
Passo 3
Substituímos
e
na equação original:
Substituindo
e
:
Passo 4
Simplificamos os termos:
Dividindo ambos os lados por
(já que
):
Passo 5
Expandimos o lado direito da igualdade:
Subtraímos
de ambos os lados:
Passo 6
Isolamos
:
Passo 7
Agora, temos uma equação que é separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 8
Rearranjamos para separar completamente as variáveis:
Passo 9
Integramos ambos os lados:
Para resolver a integral do lado esquerdo, fazemos a substituição
, então
. Assim:
A integral do lado direito é:
Passo 10
Igualando as integrais:
Podemos reescrever a constante
para simplificar:
Passo 11
Substituímos
de volta na equação:
Passo 12
Esta é a solução implícita da equação diferencial dada. Para simplificar, podemos rearranjar os termos:
Podemos combinar os logaritmos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Onde
é a constante de integração.