1^2 Questão (2,0 pontos): Resolva a equação diferencial abaixo.
3
x^2 y'' - 3 x y' + 4 y = 0, x > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial bem aí:
Esse tipo de equação é chamado de Equação Diferencial de Cauchy-Euler. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica especial que funciona bem quando os coeficientes das derivadas são funções de que têm potências de semelhantes às ordens das derivadas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução da equação tem a forma de uma potência de , ou seja:
Onde é um número que a gente precisa encontrar. Essa suposição ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais simples.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de :
Substituindo essas derivadas na equação original:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
Substituindo de volta na equação:

Passo 5

Fatorando :
Como não é zero para , podemos dividir ambos os lados por :

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática para :
Essa equação pode ser fatorada ou resolvida usando a fórmula de Bhaskara. Vamos usar a fatoração:
Então, temos uma raiz dupla:

Passo 7

Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação diferencial de Cauchy-Euler é:
Onde e são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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