Questão (2,0 pontos): Resolva a equação diferencial abaixo.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial bem aí:
Esse tipo de equação é chamado de Equação Diferencial de Cauchy-Euler. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica especial que funciona bem quando os coeficientes das derivadas são funções de
que têm potências de
semelhantes às ordens das derivadas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução da equação tem a forma de uma potência de
, ou seja:
Onde
é um número que a gente precisa encontrar. Essa suposição ajuda a transformar a equação diferencial em uma equação algébrica mais simples.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo essas derivadas na equação original:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo:
Substituindo de volta na equação:
Passo 5
Fatorando
:
Como
não é zero para
, podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática para
:
Essa equação pode ser fatorada ou resolvida usando a fórmula de Bhaskara. Vamos usar a fatoração:
Então, temos uma raiz dupla:
Passo 7
Como temos uma raiz dupla
, a solução geral da equação diferencial de Cauchy-Euler é:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: