Determine a única reta de que é perpendicular à reta e que passa pelo ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma reta no espaço tridimensional que seja perpendicular à reta dada e que passe pelo ponto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores diretores e condições de perpendicularidade entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a reta . Ela está definida por:
Aqui, é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta . O vetor diretor indica a direção em que a reta aponta.
Passo 3
Queremos encontrar uma nova reta, que chamaremos de , que seja perpendicular a e passe pelo ponto . Para ser perpendicular a , o vetor diretor de deve ser perpendicular ao vetor diretor de . Lembra que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero.
Passo 4
Vamos chamar o vetor diretor de de . Como deve ser perpendicular ao vetor diretor de , que é , temos:
Calculando o produto escalar:
Passo 5
Além disso, a reta deve passar pelo ponto . Vamos supor que tenha a forma:
Onde é o vetor diretor que estamos buscando.
Passo 6
Precisamos de mais uma condição para determinar os valores de , e . Como é perpendicular a , o vetor que liga um ponto de ao ponto também deve ser perpendicular ao vetor diretor de . Vamos escolher um ponto geral na reta :
O vetor que liga esse ponto a é:
Esse vetor deve ser perpendicular ao vetor diretor de :
Passo 7
Com , o ponto na reta que está mais próximo de é:
Agora, o vetor que liga a esse ponto é:
Esse vetor será o vetor diretor da reta :
Passo 8
Vamos verificar se satisfaz a condição de perpendicularidade com o vetor diretor de :
Está tudo certo!