Determine a única reta de
que é perpendicular à reta
e que passa pelo ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma reta no espaço tridimensional que seja perpendicular à reta
dada e que passe pelo ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores diretores e condições de perpendicularidade entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a reta
. Ela está definida por:
Aqui,
é um ponto da reta e
é o vetor diretor da reta
. O vetor diretor indica a direção em que a reta aponta.
Passo 3
Queremos encontrar uma nova reta, que chamaremos de
, que seja perpendicular a
e passe pelo ponto
. Para
ser perpendicular a
, o vetor diretor de
deve ser perpendicular ao vetor diretor de
. Lembra que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero.
Passo 4
Vamos chamar o vetor diretor de
de
. Como
deve ser perpendicular ao vetor diretor de
, que é
, temos:
Calculando o produto escalar:
Passo 5
Além disso, a reta
deve passar pelo ponto
. Vamos supor que
tenha a forma:
Onde
é o vetor diretor que estamos buscando.
Passo 6
Precisamos de mais uma condição para determinar os valores de
,
e
. Como
é perpendicular a
, o vetor que liga um ponto de
ao ponto
também deve ser perpendicular ao vetor diretor de
. Vamos escolher um ponto geral na reta
:
O vetor que liga esse ponto a
é:
Esse vetor deve ser perpendicular ao vetor diretor de
:
Passo 7
Com
, o ponto na reta
que está mais próximo de
é:
Agora, o vetor que liga
a esse ponto é:
Esse vetor será o vetor diretor
da reta
:
Passo 8
Vamos verificar se
satisfaz a condição de perpendicularidade com o vetor diretor de
:
Está tudo certo!
Resposta
A reta desejada é: