Determine a única reta de E^3 que é perpendicular à reta R=(3,4,-1)+t(1,1,-1) ; t in R e que passa pelo ponto P=(4,0,-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma reta no espaço tridimensional que seja perpendicular à reta R dada e que passe pelo ponto P=(4,0,-1). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores diretores e condições de perpendicularidade entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a reta R. Ela está definida por:
R = (3,4,-1) + t(1,1,-1) ; t in R
Aqui, (3,4,-1) é um ponto da reta e (1,1,-1) é o vetor diretor da reta R. O vetor diretor indica a direção em que a reta aponta.

Passo 3

Queremos encontrar uma nova reta, que chamaremos de S, que seja perpendicular a R e passe pelo ponto P=(4,0,-1). Para S ser perpendicular a R, o vetor diretor de S deve ser perpendicular ao vetor diretor de R. Lembra que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero.

Passo 4

Vamos chamar o vetor diretor de S de v = (a,b,c). Como v deve ser perpendicular ao vetor diretor de R, que é (1,1,-1), temos:
v cdot (1,1,-1) = 0
Calculando o produto escalar:
a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot (-1) = 0 a + b - c = 0 (1)

Passo 5

Além disso, a reta S deve passar pelo ponto P=(4,0,-1). Vamos supor que S tenha a forma:
S = (4,0,-1) + s(a,b,c) ; s in R
Onde (a,b,c) é o vetor diretor que estamos buscando.

Passo 6

Precisamos de mais uma condição para determinar os valores de a, b e c. Como S é perpendicular a R, o vetor que liga um ponto de R ao ponto P também deve ser perpendicular ao vetor diretor de R. Vamos escolher um ponto geral na reta R:
(3 + t, 4 + t, -1 - t)
O vetor que liga esse ponto a P é:
(4 - (3 + t), 0 - (4 + t), -1 - (-1 - t)) = (1 - t, -4 - t, t)
Esse vetor deve ser perpendicular ao vetor diretor de R:
(1 - t, -4 - t, t) cdot (1,1,-1) = 0 (1 - t) cdot 1 + (-4 - t) cdot 1 + t cdot (-1) = 0 1 - t -4 - t - t = 0 -3 -3t = 0 -3t = 3 t = -1

Passo 7

Com t = -1, o ponto na reta R que está mais próximo de P é:
(3 + (-1), 4 + (-1), -1 - (-1)) = (2,3,0)
Agora, o vetor que liga P a esse ponto é:
(4 - 2, 0 - 3, -1 - 0) = (2,-3,-1)
Esse vetor será o vetor diretor v da reta S:
v = (2,-3,-1)

Passo 8

Vamos verificar se v satisfaz a condição de perpendicularidade com o vetor diretor de R:
v cdot (1,1,-1) = 2 cdot 1 + (-3) cdot 1 + (-1) cdot (-1) = 2 -3 +1 = 0
Está tudo certo!

Resposta

A reta desejada é:
S = , (4,0,-1) + s, (2,-3,-1) ; ; ; s in R ,

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