Determine a única reta de que é perpendicular à reta e que passa pelo ponto

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma reta no espaço tridimensional que seja perpendicular à reta dada e que passe pelo ponto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores diretores e condições de perpendicularidade entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a reta . Ela está definida por: Aqui, é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta . O vetor diretor indica a direção em que a reta aponta.

Passo 3

Queremos encontrar uma nova reta, que chamaremos de , que seja perpendicular a e passe pelo ponto . Para ser perpendicular a , o vetor diretor de deve ser perpendicular ao vetor diretor de . Lembra que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero.

Passo 4

Vamos chamar o vetor diretor de de . Como deve ser perpendicular ao vetor diretor de , que é , temos: Calculando o produto escalar:

Passo 5

Além disso, a reta deve passar pelo ponto . Vamos supor que tenha a forma: Onde é o vetor diretor que estamos buscando.

Passo 6

Precisamos de mais uma condição para determinar os valores de , e . Como é perpendicular a , o vetor que liga um ponto de ao ponto também deve ser perpendicular ao vetor diretor de . Vamos escolher um ponto geral na reta : O vetor que liga esse ponto a é: Esse vetor deve ser perpendicular ao vetor diretor de :

Passo 7

Com , o ponto na reta que está mais próximo de é: Agora, o vetor que liga a esse ponto é: Esse vetor será o vetor diretor da reta :

Passo 8

Vamos verificar se satisfaz a condição de perpendicularidade com o vetor diretor de : Está tudo certo!

Resposta

A reta desejada é:

Exercícios relacionados

Calcule: As novas coordenadas do ponto após a rotação indicada.
Estabelecer as equações da reta que passa pela origem e é simultaneamente ortogonal às retas
[1,0 ponto] Mostre que .
Provar que se é valor próprio de T, então é valor próprio de . Generalizando, se é um polinômio então é valor próprio de , onde .