Provar que se lambda é valor próprio de T, então lambda^n é valor próprio de T^n. Generalizando, se p(t) é um polinômio então p(lambda) é valor próprio de p(T), onde p(T)=a0 I+a1 T+ +ldots+an T^n se p(t)=a0+a1 t+ldots+an t^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que se lambda é um valor próprio de uma transformação linear T, então lambda^n é um valor próprio de T^n. Além disso, a gente precisa generalizar essa ideia para um polinômio qualquer p(t), mostrando que p(lambda) será um valor próprio de p(T). Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de valores próprios, transformações lineares e operações com polinômios aplicados a transformações. Vamos dar um passo de cada vez!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um valor próprio. Dizemos que lambda é um valor próprio de T se existe um vetor não nulo v tal que:
T(v) = lambda v
Isso significa que, quando aplicamos a transformação T no vetor v, o resultado é simplesmente o vetor v escalado por lambda.

Passo 3

Agora, queremos provar que lambda^n é um valor próprio de T^n. Para isso, vamos calcular T^n(v), onde v é o vetor próprio associado a lambda.
Vamos fazer isso passo a passo:
  • Sabemos que T(v) = lambda v
  • Aplicando T novamente: T(T(v)) = T(lambda v) = lambda T(v) = lambda (lambda v) = lambda^2 v
  • Continuando esse processo, vemos que:
T^n(v) = lambda^n v

Passo 4

O que acabamos de mostrar é exatamente a definição de lambda^n ser um valor próprio de T^n, já que temos:
T^n(v) = lambda^n v
Isso prova a primeira parte do exercício.

Passo 5

Agora, vamos generalizar para um polinômio p(t) = a0 + a1 t + ldots + an t^n. Queremos mostrar que p(lambda) é um valor próprio de p(T), onde:
p(T) = a0 I + a1 T + ldots + an T^n
Aqui, I é a transformação identidade.

Passo 6

Vamos aplicar p(T) no vetor próprio v:
p(T)(v) = a0 I(v) + a1 T(v) + ldots + an T^n(v)
Sabemos que I(v) = v e, pelas etapas anteriores, T^k(v) = lambda^k v para qualquer inteiro k >= 1. Substituindo isso na expressão, temos:
p(T)(v) = a0 v + a1 (lambda v) + ldots + an (lambda^n v)

Passo 7

Podemos fatorar o vetor v:
p(T)(v) = (a0 + a1 lambda + ldots + an lambda^n) v
Observe que a expressão dentro dos parênteses �� exatamente p(lambda):
p(T)(v) = p(lambda) v

Passo 8

Isso mostra que:
p(T)(v) = p(lambda) v
Assim, p(lambda) é um valor próprio de p(T), já que encontramos um vetor não nulo v que satisfaz a equação acima.

Resposta

Portanto, provamos que se lambda é um valor próprio de T, então lambda^n é um valor próprio de T^n. Além disso, para qualquer polinômio p(t), p(lambda) é um valor próprio de p(T).

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