Provar que se é valor próprio de T, então é valor próprio de . Generalizando, se é um polinômio então é valor próprio de , onde .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que se é um valor próprio de uma transformação linear , então é um valor próprio de . Além disso, a gente precisa generalizar essa ideia para um polinômio qualquer , mostrando que será um valor próprio de . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de valores próprios, transformações lineares e operações com polinômios aplicados a transformações. Vamos dar um passo de cada vez!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um valor próprio. Dizemos que é um valor próprio de se existe um vetor não nulo tal que:
Isso significa que, quando aplicamos a transformação no vetor , o resultado é simplesmente o vetor escalado por .
Passo 3
Agora, queremos provar que é um valor próprio de . Para isso, vamos calcular , onde é o vetor próprio associado a .
Vamos fazer isso passo a passo:
Sabemos que
Aplicando novamente:
Continuando esse processo, vemos que:
Passo 4
O que acabamos de mostrar é exatamente a definição de ser um valor próprio de , já que temos:
Isso prova a primeira parte do exercício.
Passo 5
Agora, vamos generalizar para um polinômio . Queremos mostrar que é um valor próprio de , onde:
Aqui, é a transformação identidade.
Passo 6
Vamos aplicar no vetor próprio :
Sabemos que e, pelas etapas anteriores, para qualquer inteiro . Substituindo isso na expressão, temos:
Passo 7
Podemos fatorar o vetor :
Observe que a expressão dentro dos parênteses �� exatamente :
Passo 8
Isso mostra que:
Assim, é um valor próprio de , já que encontramos um vetor não nulo que satisfaz a equação acima.
Resposta
Portanto, provamos que se é um valor próprio de , então é um valor próprio de . Além disso, para qualquer polinômio , é um valor próprio de .