Provar que se
é valor próprio de T, então
é valor próprio de
. Generalizando, se
é um polinômio então
é valor próprio de
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que se
é um valor próprio de uma transformação linear
, então
é um valor próprio de
. Além disso, a gente precisa generalizar essa ideia para um polinômio qualquer
, mostrando que
será um valor próprio de
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de valores próprios, transformações lineares e operações com polinômios aplicados a transformações. Vamos dar um passo de cada vez!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um valor próprio. Dizemos que
é um valor próprio de
se existe um vetor não nulo
tal que:
Isso significa que, quando aplicamos a transformação
no vetor
, o resultado é simplesmente o vetor
escalado por
.
Passo 3
Agora, queremos provar que
é um valor próprio de
. Para isso, vamos calcular
, onde
é o vetor próprio associado a
.
Vamos fazer isso passo a passo:
- Sabemos que
- Aplicando
novamente: - Continuando esse processo, vemos que:
Passo 4
O que acabamos de mostrar é exatamente a definição de
ser um valor próprio de
, já que temos:
Isso prova a primeira parte do exercício.
Passo 5
Agora, vamos generalizar para um polinômio
. Queremos mostrar que
é um valor próprio de
, onde:
Aqui,
é a transformação identidade.
Passo 6
Vamos aplicar
no vetor próprio
:
Sabemos que
e, pelas etapas anteriores,
para qualquer inteiro
. Substituindo isso na expressão, temos:
Passo 7
Podemos fatorar o vetor
:
Observe que a expressão dentro dos parênteses �� exatamente
:
Passo 8
Isso mostra que:
Assim,
é um valor próprio de
, já que encontramos um vetor não nulo
que satisfaz a equação acima.
Resposta
Portanto, provamos que se
é um valor próprio de
, então
é um valor próprio de
. Além disso, para qualquer polinômio
,
é um valor próprio de
.