Provar que se é valor próprio de T, então é valor próprio de . Generalizando, se é um polinômio então é valor próprio de , onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que se é um valor próprio de uma transformação linear , então é um valor próprio de . Além disso, a gente precisa generalizar essa ideia para um polinômio qualquer , mostrando que será um valor próprio de . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de valores próprios, transformações lineares e operações com polinômios aplicados a transformações. Vamos dar um passo de cada vez!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um valor próprio. Dizemos que é um valor próprio de se existe um vetor não nulo tal que:
Isso significa que, quando aplicamos a transformação no vetor , o resultado é simplesmente o vetor escalado por .

Passo 3

Agora, queremos provar que é um valor próprio de . Para isso, vamos calcular , onde é o vetor próprio associado a .
Vamos fazer isso passo a passo:
  • Sabemos que
  • Aplicando novamente:
  • Continuando esse processo, vemos que:

Passo 4

O que acabamos de mostrar é exatamente a definição de ser um valor próprio de , já que temos:
Isso prova a primeira parte do exercício.

Passo 5

Agora, vamos generalizar para um polinômio . Queremos mostrar que é um valor próprio de , onde:
Aqui, é a transformação identidade.

Passo 6

Vamos aplicar no vetor próprio :
Sabemos que e, pelas etapas anteriores, para qualquer inteiro . Substituindo isso na expressão, temos:

Passo 7

Podemos fatorar o vetor :
Observe que a expressão dentro dos parênteses �� exatamente :

Passo 8

Isso mostra que:
Assim, é um valor próprio de , já que encontramos um vetor não nulo que satisfaz a equação acima.

Resposta

Portanto, provamos que se é um valor próprio de , então é um valor próprio de . Além disso, para qualquer polinômio , é um valor próprio de .

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[1,0 ponto] Mostre que .
Determine a única reta de que é perpendicular à reta e que passa pelo ponto
Determine e de modo que se tenha
Dadas e , calcule e .