Prove que os corpos Q[raiz2] e Q[raiz3] não são isomorfos.

Passo 1

Vamos entender o que foi pedido! A questão quer que a gente prove que os corpos Q[raiz2] e Q[raiz3] não são isomorfos. Isso está relacionado ao estudo de corpos (ou campos) na álgebra abstrata. Para resolver, vamos precisar saber o que é um corpo, o que significa dois corpos serem isomorfos, e como identificar propriedades que diferenciam esses corpos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um corpo. Um corpo é um conjunto onde podemos fazer as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão (menos a divisão por zero) de maneira que todas as regras usuais da aritmética se aplicam.

Passo 3

Agora, o que significa dizer que dois corpos são isomorfos? Significa que existe uma função que mapeia um corpo no outro de forma que as operações de adição e multiplicação são preservadas. Basicamente, os corpos têm a mesma estrutura matemática.

Passo 4

Vamos analisar os corpos Q[raiz2] e Q[raiz3]. Esse tipo de corpo é formado pelo conjunto de todas as combinações lineares de 1 e raiz2 (ou raiz3) com coeficientes racionais. Ou seja:
Q[raiz2] = a + braiz2 mid a, b in Q
Q[raiz3] = a + braiz3 mid a, b in Q

Passo 5

Para provar que eles não são isomorfos, precisamos encontrar uma propriedade que seja diferente entre eles. Uma boa estratégia é olhar para as raízes dos polinômios mínimos sobre Q desses corpos.

Passo 6

O polinômio mínimo de raiz2 sobre Q é x^2 - 2, porque raiz2 é raiz desse polinômio de menor grau com coeficientes racionais. Da mesma forma, o polinômio mínimo de raiz3 é x^2 - 3.

Passo 7

Agora, vamos supor que existe um isomorfismo entre Q[raiz2] e Q[raiz3]. Esse isomorfismo enviaria raiz2 para algum elemento de Q[raiz3] que também satisfaz o polinômio x^2 - 2 = 0.

Passo 8

No corpo Q[raiz3], os elementos são da forma a + braiz3. Vamos tentar encontrar a e b tais que:
(a + braiz3)^2 = 2
Expandindo:
a^2 + 2abraiz3 + 3b^2 = 2
Para que isso seja igual a 2, os termos racionais e irracionais devem se igualar separadamente:
a^2 + 3b^2 = 2 e 2ab = 0

Passo 9

Da segunda equação, 2ab = 0, temos que ou a = 0 ou b = 0. Se a = 0, então 3b^2 = 2, o que dá b^2 = 23, e b = raiz23, que não é racional. Se b = 0, então a^2 = 2, o que dá a = raiz2, também não racional. Portanto, não existe um elemento em Q[raiz3] que satisfaça x^2 - 2 = 0.

Passo 10

Isso significa que não podemos encontrar um isomorfismo que mapeie raiz2 em Q[raiz3] de forma que preserve as operações do corpo. Portanto, os corpos Q[raiz2] e Q[raiz3] não são isomorfos.

Resposta

Os corpos Q[raiz2] e Q[raiz3] não são isomorfos porque não existe uma correspondência que preserve a estrutura dos corpos, já que não há um elemento em Q[raiz3] que satisfaça o polinômio mínimo de raiz2 sobre Q.

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