Prove que os corpos
e
não são isomorfos.
Passo 1
Vamos entender o que foi pedido! A questão quer que a gente prove que os corpos
e
não são isomorfos. Isso está relacionado ao estudo de corpos (ou campos) na álgebra abstrata. Para resolver, vamos precisar saber o que é um corpo, o que significa dois corpos serem isomorfos, e como identificar propriedades que diferenciam esses corpos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um corpo. Um corpo é um conjunto onde podemos fazer as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão (menos a divisão por zero) de maneira que todas as regras usuais da aritmética se aplicam.
Passo 3
Agora, o que significa dizer que dois corpos são isomorfos? Significa que existe uma função que mapeia um corpo no outro de forma que as operações de adição e multiplicação são preservadas. Basicamente, os corpos têm a mesma estrutura matemática.
Passo 4
Vamos analisar os corpos
e
. Esse tipo de corpo é formado pelo conjunto de todas as combinações lineares de 1 e
(ou
) com coeficientes racionais. Ou seja:
Passo 5
Para provar que eles não são isomorfos, precisamos encontrar uma propriedade que seja diferente entre eles. Uma boa estratégia é olhar para as raízes dos polinômios mínimos sobre
desses corpos.
Passo 6
O polinômio mínimo de
sobre
é
, porque
é raiz desse polinômio de menor grau com coeficientes racionais. Da mesma forma, o polinômio mínimo de
é
.
Passo 7
Agora, vamos supor que existe um isomorfismo entre
e
. Esse isomorfismo enviaria
para algum elemento de
que também satisfaz o polinômio
.
Passo 8
No corpo
, os elementos são da forma
. Vamos tentar encontrar
e
tais que:
Expandindo:
Para que isso seja igual a 2, os termos racionais e irracionais devem se igualar separadamente:
Passo 9
Da segunda equação,
, temos que ou
ou
. Se
, então
, o que dá
, e
, que não é racional. Se
, então
, o que dá
, também não racional. Portanto, não existe um elemento em
que satisfaça
.
Passo 10
Isso significa que não podemos encontrar um isomorfismo que mapeie
em
de forma que preserve as operações do corpo. Portanto, os corpos
e
não são isomorfos.
Resposta
Os corpos
e
não são isomorfos porque não existe uma correspondência que preserve a estrutura dos corpos, já que não há um elemento em
que satisfaça o polinômio mínimo de
sobre
.
Exercícios relacionados
Seja
um anel. São equivalentes:
(i) é um corpo.
(ii) é um ideal maximal.
(iii) Os únicos ideais de são (0) e (1).
(i)
(ii)
(iii) Os únicos ideais de
Determine os únicos homomorfismo não-nulos dos anéis
e
.
Fixe
. Prove que são equivalentes:
a) é um número primo.
b) ( ) é um ideal primo.
c) § é um ideal maximal.
a)
b) (
c) § é um ideal maximal.
Usando 15 prove que o único homomorfismo não-nulo
é
.