Prove que os corpos e não são isomorfos.

Passo 1

Vamos entender o que foi pedido! A questão quer que a gente prove que os corpos e não são isomorfos. Isso está relacionado ao estudo de corpos (ou campos) na álgebra abstrata. Para resolver, vamos precisar saber o que é um corpo, o que significa dois corpos serem isomorfos, e como identificar propriedades que diferenciam esses corpos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um corpo. Um corpo é um conjunto onde podemos fazer as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão (menos a divisão por zero) de maneira que todas as regras usuais da aritmética se aplicam.

Passo 3

Agora, o que significa dizer que dois corpos são isomorfos? Significa que existe uma função que mapeia um corpo no outro de forma que as operações de adição e multiplicação são preservadas. Basicamente, os corpos têm a mesma estrutura matemática.

Passo 4

Vamos analisar os corpos e . Esse tipo de corpo é formado pelo conjunto de todas as combinações lineares de 1 e (ou ) com coeficientes racionais. Ou seja:

Passo 5

Para provar que eles não são isomorfos, precisamos encontrar uma propriedade que seja diferente entre eles. Uma boa estratégia é olhar para as raízes dos polinômios mínimos sobre desses corpos.

Passo 6

O polinômio mínimo de sobre é , porque é raiz desse polinômio de menor grau com coeficientes racionais. Da mesma forma, o polinômio mínimo de é .

Passo 7

Agora, vamos supor que existe um isomorfismo entre e . Esse isomorfismo enviaria para algum elemento de que também satisfaz o polinômio .

Passo 8

No corpo , os elementos são da forma . Vamos tentar encontrar e tais que:
Expandindo:
Para que isso seja igual a 2, os termos racionais e irracionais devem se igualar separadamente:

Passo 9

Da segunda equação, , temos que ou ou . Se , então , o que dá , e , que não é racional. Se , então , o que dá , também não racional. Portanto, não existe um elemento em que satisfaça .

Passo 10

Isso significa que não podemos encontrar um isomorfismo que mapeie em de forma que preserve as operações do corpo. Portanto, os corpos e não são isomorfos.

Resposta

Os corpos e não são isomorfos porque não existe uma correspondência que preserve a estrutura dos corpos, já que não há um elemento em que satisfaça o polinômio mínimo de sobre .

Exercícios relacionados

Seja um anel. São equivalentes:
(i) é um corpo.
(ii) é um ideal maximal.
(iii) Os únicos ideais de são (0) e (1).
Determine os únicos homomorfismo não-nulos dos anéis e .
Fixe . Prove que são equivalentes:
a) é um número primo.
b) ( ) é um ideal primo.
c) § é um ideal maximal.
Usando 15 prove que o único homomorfismo não-nulo é .