Seja
um anel. São equivalentes:
(i)
é um corpo.
(ii)
é um ideal maximal.
(iii) Os únicos ideais de
são (0) e (1).
(i)
(ii)
(iii) Os únicos ideais de
Passo 1
Beleza, vamos ver o que está sendo pedido aqui. Temos um anel
e queremos mostrar que três afirmações sobre ele são equivalentes:
-
é um corpo. - O ideal
em é um ideal maximal. - Os únicos ideais de
são e .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são um corpo, ideais maximais e ideais em geral. Vamos levar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, o que é um corpo? Um corpo é um anel comutativo no qual todo elemento diferente de zero tem um inverso multiplicativo. Ou seja, além de ter a operação de soma e multiplicação, você pode “dividir” por qualquer elemento que não seja zero.
Exemplo: Os números racionais
, os reais
e os complexos
são corpos porque você pode dividir qualquer número não zero por outro.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre ideais. Em um anel
, um ideal é um subconjunto que é fechado sob soma e sob multiplicação por qualquer elemento do anel.
Um ideal maximal é um ideal que é “máximo” na hierarquia dos ideais, ou seja, não há outro ideal que o contenha exceto o próprio anel
. Em outras palavras, se
é um ideal maximal, então o único ideal que contém
é
mesmo.
Passo 4
Vamos começar mostrando que (i)
é um corpo implica (ii)
é um ideal maximal.
Se
é um corpo, então o único ideal é
e
. Porque em um corpo, qualquer elemento diferente de zero gera o ideal todo
. Portanto,
não pode estar dentro de nenhum ideal maior que ele, exceto
. Assim,
é maximal.
Passo 5
Agora, mostraremos que (ii)
é um ideal maximal implica (iii) os únicos ideais de
são
e
.
Se
é um ideal maximal, isso significa que não há ideais entre
e
. Ou seja, os únicos ideais possíveis são
e
mesmo, que é o ideal
.
Passo 6
Por fim, vamos mostrar que (iii) os únicos ideais de
são
e
implica (i)
é um corpo.
Se os únicos ideais são
e
, então qualquer elemento não zero deve gerar o ideal todo
. Isso significa que cada elemento não zero tem um inverso multiplicativo, que é exatamente a definição de um corpo.
Resposta
Assim, mostramos que as três afirmações são equivalentes:
é um corpo se e somente se
é um ideal maximal, e isso acontece se e somente se os únicos ideais de
são
e
.
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.
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. Prove que são equivalentes:
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b) ( ) é um ideal primo.
c) § é um ideal maximal.
a)
b) (
c) § é um ideal maximal.