Seja um anel. São equivalentes:
(i) é um corpo.
(ii) é um ideal maximal.
(iii) Os únicos ideais de são (0) e (1).

Passo 1

Beleza, vamos ver o que está sendo pedido aqui. Temos um anel e queremos mostrar que três afirmações sobre ele são equivalentes:
  1. é um corpo.
  2. O ideal em é um ideal maximal.
  3. Os únicos ideais de são e .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são um corpo, ideais maximais e ideais em geral. Vamos levar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, o que é um corpo? Um corpo é um anel comutativo no qual todo elemento diferente de zero tem um inverso multiplicativo. Ou seja, além de ter a operação de soma e multiplicação, você pode “dividir” por qualquer elemento que não seja zero.
Exemplo: Os números racionais , os reais e os complexos são corpos porque você pode dividir qualquer número não zero por outro.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre ideais. Em um anel , um ideal é um subconjunto que é fechado sob soma e sob multiplicação por qualquer elemento do anel.
Um ideal maximal é um ideal que é “máximo” na hierarquia dos ideais, ou seja, não há outro ideal que o contenha exceto o próprio anel . Em outras palavras, se é um ideal maximal, então o único ideal que contém é mesmo.

Passo 4

Vamos começar mostrando que (i) é um corpo implica (ii) é um ideal maximal.
Se é um corpo, então o único ideal é e . Porque em um corpo, qualquer elemento diferente de zero gera o ideal todo . Portanto, não pode estar dentro de nenhum ideal maior que ele, exceto . Assim, é maximal.

Passo 5

Agora, mostraremos que (ii) é um ideal maximal implica (iii) os únicos ideais de são e .
Se é um ideal maximal, isso significa que não há ideais entre e . Ou seja, os únicos ideais possíveis são e mesmo, que é o ideal .

Passo 6

Por fim, vamos mostrar que (iii) os únicos ideais de são e implica (i) é um corpo.
Se os únicos ideais são e , então qualquer elemento não zero deve gerar o ideal todo . Isso significa que cada elemento não zero tem um inverso multiplicativo, que é exatamente a definição de um corpo.

Resposta

Assim, mostramos que as três afirmações são equivalentes: é um corpo se e somente se é um ideal maximal, e isso acontece se e somente se os únicos ideais de são e .

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