Determine a unidade das constantes
e
presentes em cada uma das seguintes equações diferenciais.
onde
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial:
onde
está em quilogramas (kg) e
está em segundos (s). Nosso objetivo é determinar as unidades das constantes
e
.
Passo 2
Para resolver isso, precisamos garantir que ambos os lados da equação tenham as mesmas unidades. Vamos analisar cada parte da equação.
Passo 3
Começando pelo lado esquerdo da equação:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, ou seja,
. As unidades de
são kg e as de
são s, portanto:
Então,
terá unidades de:
Passo 4
Agora, analisamos
. Para que o produto
tenha unidades compatíveis com o lado direito da equação, precisamos determinar as unidades de
.
Sabemos que:
Passo 5
O lado direito da equação é:
A função exponencial
deve ser adimensional, ou seja, sem unidades. Isso significa que o expoente
também deve ser adimensional.
Passo 6
Como
está em segundos (s), para que
seja adimensional,
deve ter unidades de
.
Passo 7
Voltando à determinação de
, já que o lado direito é adimensional, o produto
também deve ser adimensional. Portanto,
deve ter unidades que anulam
:
Resposta
As unidades das constantes são: