Seja
um conjunto e sejam
e
subconjuntos de
. Prove que
e
são disjuntos se e somente se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que dois subconjuntos
e
de um conjunto
são disjuntos se e somente se
está dentro do complemento de
em
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de conjuntos como conjuntos disjuntos, subconjuntos e complemento de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois conjuntos são disjuntos. Dois conjuntos
e
são disjuntos se eles não têm nenhum elemento em comum. Em termos matemáticos, isso é escrito como:
Agora, o complemento de
em
, denotado por
, é o conjunto de todos os elementos que estão em
mas não estão em
.
Passo 3
Vamos provar a implicação em duas partes:
-
Se
e são disjuntos, então . Suponha quee são disjuntos, ou seja, . Isso significa que não existe nenhum elemento que esteja simultaneamente em e em . Portanto, todo elemento de deve estar em e não em , o que significa que está contido no complemento de em , isto é, .
Passo 4
-
Se
, então e são disjuntos. Agora, suponha que. Isso quer dizer que todo elemento de está em e não está em . Portanto, não há nenhum elemento que esteja simultaneamente em e em , o que implica que e não têm elementos em comum. Logo, e são disjuntos, ou seja, .
Resposta
Concluímos que
e
são disjuntos se e somente se
.
Exercícios relacionados
Determine a unidade das constantes
e
presentes em cada uma das seguintes equações diferenciais.
onde
Escreva O conjunto
como lista.
No modelo entradas-saídas, qual(ais) variável(eis) da equação diferencial devem ser posicionadas no lado da saída e no lado da entrada?
Calcule
.