Seja um conjunto e sejam e subconjuntos de . Prove que e são disjuntos se e somente se .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que dois subconjuntos e de um conjunto são disjuntos se e somente se está dentro do complemento de em , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de teoria de conjuntos como conjuntos disjuntos, subconjuntos e complemento de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois conjuntos são disjuntos. Dois conjuntos e são disjuntos se eles não têm nenhum elemento em comum. Em termos matemáticos, isso é escrito como:
Agora, o complemento de em , denotado por , é o conjunto de todos os elementos que estão em mas não estão em .

Passo 3

Vamos provar a implicação em duas partes:
  1. Se e são disjuntos, então .
    Suponha que e são disjuntos, ou seja, . Isso significa que não existe nenhum elemento que esteja simultaneamente em e em . Portanto, todo elemento de deve estar em e não em , o que significa que está contido no complemento de em , isto é, .

Passo 4

  1. Se , então e são disjuntos.
    Agora, suponha que . Isso quer dizer que todo elemento de está em e não está em . Portanto, não há nenhum elemento que esteja simultaneamente em e em , o que implica que e não têm elementos em comum. Logo, e são disjuntos, ou seja, .

Resposta

Concluímos que e são disjuntos se e somente se .

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Determine a unidade das constantes e presentes em cada uma das seguintes equações diferenciais.
onde
Escreva O conjunto como lista.
No modelo entradas-saídas, qual(ais) variável(eis) da equação diferencial devem ser posicionadas no lado da saída e no lado da entrada?
Calcule .