Para todo X ⊆ R, prove que R - int(X) = sobrelinha(R - X) e R - barra(X) = int(R - X).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de topologia na reta real. O enunciado pede para provar duas igualdades envolvendo o conjunto dos números reais , um subconjunto , e operações como interior ( ), fecho ( ) e complementos de conjuntos. Para isso, vamos precisar entender bem o que são interior e fecho de um conjunto, além de como trabalhar com complementos na reta real.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o interior de um conjunto. O interior de , denotado por , é o maior conjunto aberto contido em . Ou seja, todos os pontos de que têm uma vizinhança totalmente dentro de .

Passo 3

Agora, o fecho de , , é o menor conjunto fechado que contém . Ele inclui todos os pontos de mais os seus pontos de acumulação (limites).

Passo 4

Vamos também lembrar que o complemento de um conjunto em é , que contém todos os pontos que não estão em .

Passo 5

Vamos começar provando a primeira igualdade: .
Sabemos que o complemento do interior de é igual ao fecho do complemento de . Para ver isso, observamos que:
  • Se um ponto não está no interior de , então todo intervalo ao redor desse ponto não está totalmente contido em , o que significa que o ponto está no fecho de .

Passo 6

Agora, vamos provar a segunda igualdade: .
Aqui, o complemento do fecho de é igual ao interior do complemento de . Isso porque se um ponto não está no fecho de , existe uma vizinhança ao redor desse ponto que não intersecta , ou seja, está todo contido em , o que caracteriza o interior de .

Resposta

Assim, mostramos que para todo :

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