Determine o valor de na equação abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a seguinte equação:
Aqui estamos lidando com logaritmos e precisamos encontrar o valor de que satisfaz essa igualdade. Para resolver, vamos usar algumas propriedades dos logaritmos, como a mudança de base.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de mudança de base:
Essa fórmula nos permite reescrever um logaritmo em uma base diferente. Vamos aplicar isso ao segundo logaritmo da nossa equação:
Sabemos que , então a expressão fica mais simples:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão de volta na equação original:
Isso simplifica para:

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar a fração:

Passo 5

Se os logaritmos de duas expressões são iguais, então as próprias expressões devem ser iguais. Assim:

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática simples. Vamos colocá-la na forma padrão:
Para resolver, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo:
Então, as soluções são:

Passo 7

Precisamos verificar quais dessas soluções são válidas no contexto dos logaritmos. Lembrando que o argumento de um logaritmo deve ser positivo:
  • Para :
    • é válido.
    • também é válido.
  • Para :
    • não é definido, então essa solução não é válida.

Resposta

O valor de que satisfaz a equação é .

Exercícios relacionados

A soma é igual a
(a)
(d) 1
(b) -1
(e) 2
©
(f) -4
Exercícios 1, 2, 4, 6, 7 e 8 da apostila do Douglas.
Realize as seguintes operações entre intervalos.
Escreva em uma só potência: