Determine o valor de
na equação abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a seguinte equação:
Aqui estamos lidando com logaritmos e precisamos encontrar o valor de
que satisfaz essa igualdade. Para resolver, vamos usar algumas propriedades dos logaritmos, como a mudança de base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de mudança de base:
Essa fórmula nos permite reescrever um logaritmo em uma base diferente. Vamos aplicar isso ao segundo logaritmo da nossa equação:
Sabemos que
, então a expressão fica mais simples:
Passo 3
Agora, substituímos essa expressão de volta na equação original:
Isso simplifica para:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar a fração:
Passo 5
Se os logaritmos de duas expressões são iguais, então as próprias expressões devem ser iguais. Assim:
Passo 6
Agora, temos uma equação quadrática simples. Vamos colocá-la na forma padrão:
Para resolver, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo:
Então, as soluções são:
Passo 7
Precisamos verificar quais dessas soluções são válidas no contexto dos logaritmos. Lembrando que o argumento de um logaritmo deve ser positivo:
-
Para
: -
é válido. -
também é válido.
-
-
Para
: -
não é definido, então essa solução não é válida.
-
Resposta
O valor de
que satisfaz a equação é
.
Exercícios relacionados
A soma
é igual a
(a)
(d) 1
(b) -1
(e) 2
©
(f) -4
(a)
(d) 1
(b) -1
(e) 2
©
(f) -4
Exercícios 1, 2, 4, 6, 7 e 8 da apostila do Douglas.
Realize as seguintes operações entre intervalos.
Escreva em uma só potência: