Determine o valor esperado do deslocamento quadrático médio
para o oscilador harmônico no estado com número quântico
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o valor esperado do deslocamento quadrático médio, que é
, para um oscilador harmônico no estado com número quântico
. Isso está relacionado à Mecânica Quântica, especificamente ao estudo dos osciladores harmônicos, que são modelos fundamentais para entender sistemas físicos vibracionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor esperado
é uma média ponderada das posições possíveis do sistema, considerando o estado quântico em que ele está. No caso do oscilador harmônico, os estados estão descritos por funções de onda chamadas de funções de Hermite.
Passo 3
A função de onda para o estado com número quântico
é dada por:
onde
são os polinômios de Hermite,
é a massa,
é a frequência angular, e
é a constante de Planck reduzida.
Passo 4
O valor esperado
é calculado pela integral:
No caso dos estados do oscilador harmônico, essa integral pode ser simplificada usando propriedades dos polinômios de Hermite e operadores na Mecânica Quântica.
Passo 5
Sabemos que para o oscilador harmônico, os valores esperados dos operadores de criação e aniquilação nos estados de número
permitem expressar
de forma mais simples. Usando a relação:
Essa relação é derivada usando as propriedades dos operadores ladder e a definição dos estados de número.
Resposta
Portanto, o valor esperado do deslocamento quadrático médio para o oscilador harmônico no estado com número quântico
é: