Determine o valor esperado do deslocamento quadrático médio lang<= x^2rang<= para o oscilador harmônico no estado com número quântico nu.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o valor esperado do deslocamento quadrático médio, que é lang<= x^2rang<=, para um oscilador harmônico no estado com número quântico nu. Isso está relacionado à Mecânica Quântica, especificamente ao estudo dos osciladores harmônicos, que são modelos fundamentais para entender sistemas físicos vibracionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor esperado lang<= x^2rang<= é uma média ponderada das posições possíveis do sistema, considerando o estado quântico em que ele está. No caso do oscilador harmônico, os estados estão descritos por funções de onda chamadas de funções de Hermite.

Passo 3

A função de onda para o estado com número quântico nu é dada por:
psinu(x) = (momegapi hbar)^1/4 1raiz2^nu nu! Hnu(raizmomegahbar x) e^-momega x^22hbar
onde Hnu são os polinômios de Hermite, m é a massa, omega é a frequência angular, e hbar é a constante de Planck reduzida.

Passo 4

O valor esperado lang<= x^2rang<= é calculado pela integral:
lang<= x^2rang<= = integral-infty^infty psinu^*(x) x^2 psinu(x) dx
No caso dos estados do oscilador harmônico, essa integral pode ser simplificada usando propriedades dos polinômios de Hermite e operadores na Mecânica Quântica.

Passo 5

Sabemos que para o oscilador harmônico, os valores esperados dos operadores de criação e aniquilação nos estados de número nu permitem expressar lang<= x^2rang<= de forma mais simples. Usando a relação:
lang<= x^2rang<= = hbar2momega (2nu + 1)
Essa relação é derivada usando as propriedades dos operadores ladder e a definição dos estados de número.

Resposta

Portanto, o valor esperado do deslocamento quadrático médio para o oscilador harmônico no estado com número quântico nu é:
lang<= x^2rang<= = hbar2momega (2nu + 1)

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