(0,5) Um elétron está confinado numa caixa unidimensional de comprimento 0,100 nm. (a) Ache a energia do estado fundamental. (b) Ache a energia dos quatro estados de energia mais baixos, © desenhe um diagrama de níveis de energia. (d) Ache o comprimento de onda dos fótons emitidos para todas as transições do estado n=3 para estados de energia mais baixa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um elétron preso numa caixa unidimensional com comprimento de . O que isso quer dizer? Basicamente, estamos lidando com o modelo de partícula na caixa, que faz parte da mecânica quântica. Para resolver essa questão, vamos precisar usar a fórmula das energias permitidas para um elétron em uma caixa quântica e entender como calcular comprimentos de onda de fótons emitidos em transições de energia.

Passo 2

Parte (a): Energia do estado fundamental
Primeiro, vamos encontrar a energia do estado fundamental, ou seja, a energia mais baixa que o elétron pode ter nessa caixa. A fórmula para a energia dos níveis quânticos é:
En = n^2 h^28 m L^2
Onde:
  • E1 = 1^2 times (6,626 times 10^-34)^28 times 9,109 times 10^-31 times (0,100 times 10^-9)^2 é o número quântico (para o estado fundamental, )
  • é a constante de Planck ( )
  • é a massa do elétron ( )
  • é o comprimento da caixa ( )
Vamos calcular:
Fazendo as contas, obtemos a energia do estado fundamental.

Passo 3

Parte (b): Energias dos quatro estados mais baixos
Agora, queremos as energias para os quatro primeiros estados ( En = n^2 h^28 m L^2 ). Usamos a mesma fórmula que usamos na parte (a) e substituímos o valor de :
Então:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Calculando cada um, teremos as quatro energias mais baixas.

Passo 4

Parte ©: Diagrama de níveis de energia
Aqui, vamos desenhar um diagrama simples mostrando os níveis de energia para até . Cada nível será representado como uma linha horizontal, com a energia aumentando conforme aumenta. Isso ajuda a visualizar como o elétron pode transitar entre esses níveis.
E4 |-----------------
E3 |-----------
E2 |-----
E1 |---

Passo 5

Parte (d): Comprimento de onda dos fótons emitidos nas transições de lambda = hcDe para estados inferiores
Quando o elétron transita de um nível mais alto para um mais baixo, ele emite um fóton com uma energia igual à diferença entre esses níveis. A energia do fóton está relacionada ao comprimento de onda pela equação:
Onde:
  • é o comprimento de onda
  • é a velocidade da luz ( )
  • é a diferença de energia entre os níveis
Vamos calcular para as transições de para , , e assim por diante, e então encontrar o correspondente para cada uma.

Resposta

(a) A energia do estado fundamental é aproximadamente .
(b) As energias dos quatro estados mais baixos são:
© O diagrama de níveis de energia apresenta quatro linhas horizontais representando a , com na base e no topo.
(d) Os comprimentos de onda dos fótons emitidos nas transições do estado para estados inferiores são:
  • Transição de para :
  • Transição de para :

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