Um elétron está confinado numa caixa unidimensional de comprimento
. (a) Ache a energia do estado fundamental. (b) Ache a energia dos quatro estados de energia mais baixos, © desenhe um diagrama de níveis de energia. (d) Ache o comprimento de onda dos fótons emitidos para todas as transições do estado
para estados de energia mais baixa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um elétron preso numa caixa unidimensional com comprimento de
. O que isso quer dizer? Basicamente, estamos lidando com o modelo de partícula na caixa, que faz parte da mecânica quântica. Para resolver essa questão, vamos precisar usar a fórmula das energias permitidas para um elétron em uma caixa quântica e entender como calcular comprimentos de onda de fótons emitidos em transições de energia.
Passo 2
Parte (a): Energia do estado fundamental
Primeiro, vamos encontrar a energia do estado fundamental, ou seja, a energia mais baixa que o elétron pode ter nessa caixa. A fórmula para a energia dos níveis quânticos é:
Onde:
-
é o número quântico (para o estado fundamental, ) -
é a constante de Planck ( ) -
é a massa do elétron ( ) -
é o comprimento da caixa ( )
Vamos calcular:
Fazendo as contas, obtemos a energia do estado fundamental.
Passo 3
Parte (b): Energias dos quatro estados mais baixos
Agora, queremos as energias para os quatro primeiros estados (
). Usamos a mesma fórmula que usamos na parte (a) e substituímos o valor de
:
Então:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Calculando cada um, teremos as quatro energias mais baixas.
Passo 4
Parte ©: Diagrama de níveis de energia
Aqui, vamos desenhar um diagrama simples mostrando os níveis de energia para
até
. Cada nível será representado como uma linha horizontal, com a energia aumentando conforme
aumenta. Isso ajuda a visualizar como o elétron pode transitar entre esses níveis.
E4 |-----------------
E3 |-----------
E2 |-----
E1 |---
Passo 5
Parte (d): Comprimento de onda dos fótons emitidos nas transições de
para estados inferiores
Quando o elétron transita de um nível mais alto para um mais baixo, ele emite um fóton com uma energia igual à diferença entre esses níveis. A energia do fóton está relacionada ao comprimento de onda pela equação:
Onde:
-
é o comprimento de onda -
é a velocidade da luz ( ) -
é a diferença de energia entre os níveis
Vamos calcular
para as transições de
para
,
, e assim por diante, e então encontrar o
correspondente para cada uma.
Resposta
(a) A energia do estado fundamental é aproximadamente
.
(b) As energias dos quatro estados mais baixos são:
© O diagrama de níveis de energia apresenta quatro linhas horizontais representando
a
, com
na base e
no topo.
(d) Os comprimentos de onda dos fótons emitidos nas transições do estado
para estados inferiores são:
- Transição de
para : - Transição de
para :