Verifique que uma função com a forma psi(x)=A e^-B x^2 é solução da equação de Schrödinger para o oscilador harmônico:
-hbar^22 m d^2 psid x^2+m omega^2 x^22 psi=E psi
Determine o valor da constante B e calcule o valor da energia E associada ao estado psi(x). Você encontrará dois possíveis valores para B, mas só um deles será compatível com a mecânica quântica. Qual é o estado psi(x) ?

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma função da forma psi(x) = A e^-B x^2 e precisamos verificar se ela é solução da equação de Schrödinger para o oscilador harmônico:
-hbar^22 m d^2 psid x^2 + m omega^2 x^22 psi = E psi
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função psi(x), substituir na equação e encontrar os valores de B e E que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de psi(x) em relação a x. A função é:
psi(x) = A e^-B x^2
A primeira derivada é:
d psid x = -2 A B x e^-B x^2
A segunda derivada será:
d^2 psid x^2 = (-2 A B) e^-B x^2 + (-2 A B x)(-2 B x) e^-B x^2 = (4 A B^2 x^2 - 2 A B) e^-B x^2

Passo 3

Agora, vamos substituir d^2 psid x^2 e psi(x) na equação de Schrödinger:
-hbar^22 m (4 A B^2 x^2 - 2 A B) e^-B x^2 + m omega^2 x^22 A e^-B x^2 = E A e^-B x^2
Podemos fatorar A e^-B x^2 em todos os termos:
A e^-B x^2 ( -hbar^22 m (4 B^2 x^2 - 2 B) + m omega^2 x^22 ) = E A e^-B x^2

Passo 4

Como A e^-B x^2 neq 0, podemos dividir ambos os lados por A e^-B x^2:
-hbar^22 m (4 B^2 x^2 - 2 B) + m omega^2 x^22 = E
Vamos reorganizar os termos:
( -2 hbar^2 B^2m + m omega^22 ) x^2 + hbar^2 Bm = E

Passo 5

Para que essa igualdade seja válida para todo valor de x, os coeficientes de x^2 e o termo constante devem ser iguais nos dois lados da equação. Assim, temos:
  1. Coeficiente de x^2:
    -2 hbar^2 B^2m + m omega^22 = 0
  2. Termo constante:
    hbar^2 Bm = E

Passo 6

Vamos resolver a primeira equação para encontrar B:
-2 hbar^2 B^2m + m omega^22 = 0
Multiplicando ambos os lados por m para eliminar o denominador:
-2 hbar^2 B^2 + m^2 omega^22 = 0 Rightarrow 4 hbar^2 B^2 = m^2 omega^2 Rightarrow B^2 = m^2 omega^24 hbar^2 Rightarrow B = m omega2 hbar ou B = -m omega2 hbar

Passo 7

Agora, substituímos os valores de B na equação para E:
Para B = m omega2 hbar:
E = hbar^2m cdot m omega2 hbar = hbar omega2
Para B = -m omega2 hbar:
E = hbar^2m cdot (-m omega2 hbar) = -hbar omega2
Como a energia não pode ser negativa no estado fundamental da mecânica quântica, descartamos B = -m omega2 hbar.

Resposta

A constante B é m omega2 hbar e a energia associada ao estado psi(x) é E = hbar omega2. Portanto, o estado é:
psi(x) = A e^-m omega2 hbar x^2

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