Verifique que uma função com a forma
é solução da equação de Schrödinger para o oscilador harmônico:
Determine o valor da constante
e calcule o valor da energia
associada ao estado
. Você encontrará dois possíveis valores para
, mas só um deles será compatível com a mecânica quântica. Qual é o estado
?
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma função da forma
e precisamos verificar se ela é solução da equação de Schrödinger para o oscilador harmônico:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas da função
, substituir na equação e encontrar os valores de
e
que satisfazem a igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
. A função é:
A primeira derivada é:
A segunda derivada será:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação de Schrödinger:
Podemos fatorar
em todos os termos:
Passo 4
Como
, podemos dividir ambos os lados por
:
Vamos reorganizar os termos:
Passo 5
Para que essa igualdade seja válida para todo valor de
, os coeficientes de
e o termo constante devem ser iguais nos dois lados da equação. Assim, temos:
-
Coeficiente de
: -
Termo constante:
Passo 6
Vamos resolver a primeira equação para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 7
Agora, substituímos os valores de
na equação para
:
Para
:
Para
:
Como a energia não pode ser negativa no estado fundamental da mecânica quântica, descartamos
.
Resposta
A constante
é
e a energia associada ao estado
é
. Portanto, o estado é: