Uma partícula de massa em repouso
e energia cinética 7 MeV colide com uma partícula estacionária de massa em repouso
. Depois da colisão, as duas partículas ficam unidas. (a) Ache o momento inicial do sistema, (b) a velocidade final do sistema de duas partículas e a massa em repouso do sistema de duas partículas.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos duas partículas:
- A primeira tem uma massa em repouso de
e uma energia cinética de . - A segunda partícula está estacionária, com uma massa em repouso de
.
Quando essas duas partículas colidem e se unem, queremos descobrir:
(a) O momento inicial do sistema.
(b) A velocidade final do sistema das duas partículas unidas e a massa em repouso desse novo sistema.
Para resolver isso, vamos usar conceitos da física relativística, que lida com partículas que se movem a velocidades próximas à da luz. Vamos precisar das fórmulas para energia total, momento relativístico e conservação do momento.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento inicial do sistema. O momento relativístico (
) de uma partícula é dado por:
onde:
-
é o fator de Lorentz, -
é a massa em repouso, -
é a velocidade da partícula, -
é a velocidade da luz.
No entanto, como a primeira partícula est�� em movimento e a segunda está estacionária, o momento inicial do sistema será apenas o momento da primeira partícula.
Primeiro, precisamos relacionar a energia cinética (
) com a velocidade para encontrar
.
A energia total (
) de uma partícula é:
E a energia cinética é:
Podemos resolver para
:
Substituindo os valores:
Agora, podemos encontrar o momento
:
Mas precisamos expressar
em termos de
:
Então,
Agora, substituindo novamente:
Passo 3
Então, o momento inicial do sistema é aproximadamente
.
Passo 4
Agora, para encontrar a velocidade final do sistema após a colisão e a massa em repouso do novo sistema, vamos usar a conservação do momento e da energia total.
Como as duas partículas se unem, o momento final será:
Onde:
-
, -
, -
é a velocidade final do sistema.
A conservação do momento nos diz que
:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora, para encontrar a massa em repouso do sistema resultante (
), usamos a energia total do sistema antes da colisão.
A energia total (
) é a soma das energias das duas partículas:
Já sabemos que
, então:
A massa em repouso do sistema resultante é:
Portanto,
Resposta
(a) O momento inicial do sistema é aproximadamente
.
(b) A velocidade final do sistema das duas partículas é
e a massa em repouso do sistema unido é
.