(0,5) Uma partícula de massa em repouso 5 MeV / c^2 e energia cinética 7 MeV colide com uma partícula estacionária de massa em repouso 9 MeV / c^2. Depois da colisão, as duas partículas ficam unidas. (a) Ache o momento inicial do sistema, (b) a velocidade final do sistema de duas partículas e a massa em repouso do sistema de duas partículas.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está nos pedindo. Temos duas partículas:
  • A primeira tem uma massa em repouso de e uma energia cinética de .
  • A segunda partícula está estacionária, com uma massa em repouso de .
Quando essas duas partículas colidem e se unem, queremos descobrir:
(a) O momento inicial do sistema.
(b) A velocidade final do sistema das duas partículas unidas e a massa em repouso desse novo sistema.
Para resolver isso, vamos usar conceitos da física relativística, que lida com partículas que se movem a velocidades próximas à da luz. Vamos precisar das fórmulas para energia total, momento relativístico e conservação do momento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento inicial do sistema. O momento relativístico ( p = gamma m v ) de uma partícula é dado por:
E = gamma m c^2
onde:
  • Ek = E - m c^2 = (gamma - 1) m c^2 é o fator de Lorentz,
  • gamma = 1 + Ekm c^2 é a massa em repouso,
  • gamma = 1 + 7, MeV5, MeV = 1 + 1.4 = 2.4 é a velocidade da partícula,
  • p = gamma m v é a velocidade da luz.
No entanto, como a primeira partícula est�� em movimento e a segunda está estacionária, o momento inicial do sistema será apenas o momento da primeira partícula.
Primeiro, precisamos relacionar a energia cinética ( v = c raiz1 - 1gamma^2 ) com a velocidade para encontrar v = c raiz1 - 1(2.4)^2 = c raiz1 - 15.76 = c raiz4.765.76 approx 0.907 c .
A energia total ( p = 2.4 times 5, MeV/c^2 times 0.907 c approx 2.4 times 5 times 0.907, MeV/c approx 10.896, MeV/c ) de uma partícula é:
E a energia cinética é:
Podemos resolver para :
Substituindo os valores:
Agora, podemos encontrar o momento :
Mas precisamos expressar em termos de :
Então,
Agora, substituindo novamente:

Passo 3

Então, o momento inicial do sistema é aproximadamente .

Passo 4

Agora, para encontrar a velocidade final do sistema após a colisão e a massa em repouso do novo sistema, vamos usar a conservação do momento e da energia total.
Como as duas partículas se unem, o momento final será:
pfinal = (m1 + m2) vfinal
Onde:
  • 10.896, MeV/c = (5 + 9), MeV/c^2 times vfinal ,
  • vfinal = 10.896, MeV/c14, MeV/c^2 = 0.778 c ,
  • é a velocidade final do sistema.
A conservação do momento nos diz que :
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, para encontrar a massa em repouso do sistema resultante ( Etotal = E1 + E2 = (gamma1 m1 c^2) + (m2 c^2) ), usamos a energia total do sistema antes da colisão.
A energia total ( Etotal = 2.4 times 5, MeV + 9, MeV = 12, MeV + 9, MeV = 21, MeV ) é a soma das energias das duas partículas:
M c^2 = Etotal = 21, MeV
Já sabemos que M = 21, MeVc^2 = 21, MeV/c^2 , então:
A massa em repouso do sistema resultante é:
Portanto,

Resposta

(a) O momento inicial do sistema é aproximadamente .
(b) A velocidade final do sistema das duas partículas é e a massa em repouso do sistema unido é .

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