Determine o valor de
para que a função
seja contínua em
, justificando sua resposta.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de
que faz a função
ser contínua em todo o conjunto dos números reais (
). A função
é definida de forma diferente dependendo de
ser maior ou igual a 2 ou menor que 2. Para garantir a continuidade, precisamos que não haja “saltos” ou “quebras” no gráfico da função, especialmente no ponto onde a definição muda, que é em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite quando
se aproxima pela direita, e ambos são iguais ao valor da função naquele ponto. No nosso caso, isso precisa acontecer em
.
Passo 3
Vamos calcular o valor da função quando
. Como
, usamos a primeira parte da definição:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
). Para
, a função é constante e igual a 12. Então:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o limite da função quando
se aproxima de 2 pela direita (
). Para
, usamos a expressão
:
Passo 6
Para que a função seja contínua em
, precisamos que esses limites e o valor da função no ponto sejam iguais. Portanto, temos a equação:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Vamos resolver a equação
. Primeiro, subtraímos 12 de ambos os lados para deixar a equação igual a zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Passo 8
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo:
Passo 9
Calculando as duas soluções:
Resposta
Os valores de
que tornam a função contínua em
são
e
.