Determine o valor de para que a função seja contínua em , justificando sua resposta.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o valor de que faz a função ser contínua em todo o conjunto dos números reais ( ). A função é definida de forma diferente dependendo de ser maior ou igual a 2 ou menor que 2. Para garantir a continuidade, precisamos que não haja “saltos” ou “quebras” no gráfico da função, especialmente no ponto onde a definição muda, que é em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos são iguais ao valor da função naquele ponto. No nosso caso, isso precisa acontecer em .

Passo 3

Vamos calcular o valor da função quando . Como , usamos a primeira parte da definição:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ). Para , a função é constante e igual a 12. Então:

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 2 pela direita ( ). Para , usamos a expressão :

Passo 6

Para que a função seja contínua em , precisamos que esses limites e o valor da função no ponto sejam iguais. Portanto, temos a equação:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 7

Vamos resolver a equação . Primeiro, subtraímos 12 de ambos os lados para deixar a equação igual a zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:

Passo 8

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo:

Passo 9

Calculando as duas soluções:

Resposta

Os valores de que tornam a função contínua em são e .

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