nabla times nabla f=0. Todo gradiente é um campo irrotacional. O anulamento de seu rotacional é uma identidade matemática, independentemente de qualquer física. Eletromagnetismo: Comparando a identidade matemática acima, nabla times nabla f=0, com a propriedade do campo elétrico coulombiano E, a saber, nabla times E=0, então podemos definir um potencial escalar elétrico varphi, tal que E equiv -nabla varphi. Equivalentemente, desde que d varphi equiv nabla varphi d ell equiv-E d ell, então varphib-varphia=-integrala^b E d ell, ou, ainda, oint E d ell=0. Esta relação entre nabla times E=0, E equiv-nabla varphi e oint E d ell=0 é conhecido como teorema do potencial.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que foi apresentado no enunciado. A questão fala sobre vetores e cálculo vetorial, especificamente sobre gradientes e rotacionais. Vamos precisar conhecer conceitos como gradiente, rotacional, e como eles se aplicam no eletromagnetismo para definir o potencial elétrico.

Passo 2

Começamos com a identidade matemática nabla times nabla f = 0. Aqui, nabla f representa o gradiente de uma função escalar f. O operador nabla times é conhecido como rotacional. A identidade nos diz que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre zero. Isso significa que os campos derivados de gradientes são irrotacionais.

Passo 3

No eletromagnetismo, o campo elétrico coulombiano E também tem o rotacional igual a zero, ou seja, nabla times E = 0. Comparando isso com a identidade matemática que vimos, podemos concluir que o campo elétrico pode ser expresso como o gradiente negativo de uma função escalar. Ou seja, existe um potencial escalar elétrico varphi tal que:
E = -nabla varphi

Passo 4

Agora, consideramos a diferença de potencial entre dois pontos a e b. A variação do potencial escalar varphi de a para b pode ser expressa como:
varphib - varphia = -integrala^b E cdot dell
Aqui, dell é um elemento infinitesimal de caminho entre os pontos a e b. Essa integral representa o trabalho realizado pelo campo elétrico ao mover uma carga de a para b.

Passo 5

Além disso, se considerarmos um caminho fechado, ou seja, onde o ponto de início e fim é o mesmo, a integral se torna:
oint E cdot dell = 0
Isso reforça que o campo elétrico é conservativo, pois o trabalho realizado em um caminho fechado é zero.

Passo 6

Finalmente, todas essas relações juntas — nabla times E = 0, E = -nabla varphi, e oint E cdot dell = 0 — formam o que chamamos de teorema do potencial no eletromagnetismo. Este teorema nos permite definir um potencial escalar para o campo elétrico quando ele é irrotacional.

Resposta

O teorema do potencial estabelece que, se nabla times E = 0, então existe um potencial escalar varphi tal que E = -nabla varphi. Além disso, a diferença de potencial entre dois pontos a e b é dada por varphib - varphia = -integrala^b E cdot dell, e a integral de linha fechada do campo elétrico é zero, ou seja, oint E cdot dell = 0.

Exercícios relacionados