. Todo gradiente é um campo irrotacional. O anulamento de seu rotacional é uma identidade matemática, independentemente de qualquer física. Eletromagnetismo: Comparando a identidade matemática acima,
, com a propriedade do campo elétrico coulombiano
, a saber,
, então podemos definir um potencial escalar elétrico
, tal que
. Equivalentemente, desde que
, então
, ou, ainda,
. Esta relação entre
e
é conhecido como teorema do potencial.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que foi apresentado no enunciado. A questão fala sobre vetores e cálculo vetorial, especificamente sobre gradientes e rotacionais. Vamos precisar conhecer conceitos como gradiente, rotacional, e como eles se aplicam no eletromagnetismo para definir o potencial elétrico.
Passo 2
Começamos com a identidade matemática
. Aqui,
representa o gradiente de uma função escalar
. O operador
é conhecido como rotacional. A identidade nos diz que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre zero. Isso significa que os campos derivados de gradientes são irrotacionais.
Passo 3
No eletromagnetismo, o campo elétrico coulombiano
também tem o rotacional igual a zero, ou seja,
. Comparando isso com a identidade matemática que vimos, podemos concluir que o campo elétrico pode ser expresso como o gradiente negativo de uma função escalar. Ou seja, existe um potencial escalar elétrico
tal que:
Passo 4
Agora, consideramos a diferença de potencial entre dois pontos
e
. A variação do potencial escalar
de
para
pode ser expressa como:
Aqui,
é um elemento infinitesimal de caminho entre os pontos
e
. Essa integral representa o trabalho realizado pelo campo elétrico ao mover uma carga de
para
.
Passo 5
Além disso, se considerarmos um caminho fechado, ou seja, onde o ponto de início e fim é o mesmo, a integral se torna:
Isso reforça que o campo elétrico é conservativo, pois o trabalho realizado em um caminho fechado é zero.
Passo 6
Finalmente, todas essas relações juntas —
,
, e
— formam o que chamamos de teorema do potencial no eletromagnetismo. Este teorema nos permite definir um potencial escalar para o campo elétrico quando ele é irrotacional.
Resposta
O teorema do potencial estabelece que, se
, então existe um potencial escalar
tal que
. Além disso, a diferença de potencial entre dois pontos
e
é dada por
, e a integral de linha fechada do campo elétrico é zero, ou seja,
.