Seja a função definida por:
(b) é contínua em ? Justifique!

Passo 1

Beleza, o exercício está perguntando se a função é contínua em . A gente vai usar o conceito de continuidade de funções, que basicamente verifica se uma função não " pula " ou " tem buracos " em um ponto específico. Para resolver isso, precisamos ver se os limites pela esquerda e pela direita em existem e são iguais ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se está definido. Olhando para a definição da função:
Então, sim, existe e vale 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, chegando de valores menores que 1. De acordo com a função:
Então,

Passo 4

Em seguida, calculamos o limite quando se aproxima de 1 pela direita, ou seja, vindo de valores maiores que 1. Segundo a função:
Então,

Passo 5

Agora, comparamos os limites e o valor da função em :
Os limites pela esquerda e pela direita são iguais (ambos valem 2), mas o valor da função em é 1, que é diferente dos limites.

Resposta

Portanto, a função não é contínua em , já que o limite quando se aproxima de 1 não coincide com o valor da função nesse ponto.

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. Todo gradiente é um campo irrotacional. O anulamento de seu rotacional é uma identidade matemática, independentemente de qualquer física. Eletromagnetismo: Comparando a identidade matemática acima, , com a propriedade do campo elétrico coulombiano , a saber, , então podemos definir um potencial escalar elétrico , tal que . Equivalentemente, desde que , então , ou, ainda, . Esta relação entre e é conhecido como teorema do potencial.
Determine o valor de para que a função seja contínua em , justificando sua resposta.
©