Seja f a função definida por:
f(x)=ccc x^2-1 & se & x <= 0 2 x & se & 0= 2
(b) f é contínua em x=1 ? Justifique!

Passo 1

Beleza, o exercício está perguntando se a função é contínua em . A gente vai usar o conceito de continuidade de funções, que basicamente verifica se uma função não " pula " ou " tem buracos " em um ponto específico. Para resolver isso, precisamos ver se os limites pela esquerda e pela direita em existem e são iguais ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se f(1) = 1 está definido. Olhando para a definição da função:
Então, sim, existe e vale 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando f(x) = 2x para 0 < x < 1 se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, limx to 1^- f(x) = limx to 1^- 2x = 2 times 1 = 2 chegando de valores menores que 1. De acordo com a função:
Então,

Passo 4

Em seguida, calculamos o limite quando f(x) = -2x + 4 para 1 < x < 2 se aproxima de 1 pela direita, ou seja, limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (-2x + 4) = -2 times 1 + 4 = 2 vindo de valores maiores que 1. Segundo a função:
Então,

Passo 5

Agora, comparamos os limites e o valor da função em limx to 1^- f(x) = 2 limx to 1^+ f(x) = 2 f(1) = 1 :
Os limites pela esquerda e pela direita são iguais (ambos valem 2), mas o valor da função em é 1, que é diferente dos limites.

Resposta

Portanto, a função não é contínua em , já que o limite quando se aproxima de 1 não coincide com o valor da função nesse ponto.

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