a) Determine o valor das incertezas para cada medida disposta na tabela.
b) Sendo a resistência indicada por , (Lei de Ohm) complete a tabela ao lado, calculando o valor da resistência para cada medida. Não esqueça da incerteza.
Medida
Tensão <br>
Corrente <br>
Resistencia
1
0
0
2
0,5
3,15
3
1,0
7,59
4
1,5
11,22
5
2,0
13,36
6
2,5
18,24
7
3,0
21,30
8
3,5
25,59
9
4,0
30,36
c) Utilizando os dados da tabela do experimento, e interpretando que o gráfico será uma reta, faça uma regressão linear e interprete os valores de e , sendo:
onde sigmaa e sigmab correspondem a incerteza nas medidas de a e b. O valor de S é indicado por:
S=sumi=1^n[yi-(a+b xi)]^2
d) Mostre a descrição física de A e B, de acordo com a Lei de Ohm.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício tem quatro partes e vamos resolver passo a passo. Primeiro, vamos entender o que cada parte pede:
a) Precisamos calcular as incertezas de cada medida de tensão e corrente na tabela.
b) Usando a Lei de Ohm, que diz que $ V = R \cdot I $, vamos calcular a resistência para cada medida e também a incerteza dessa resistência.
c) Com os dados da tabela, vamos fazer uma regressão linear $ y = a + b x $ para encontrar os valores de $ a $ e $ b $, além de suas incertezas.
d) Por fim, vamos explicar o que representam fisicamente os valores de $ a $ e $ b $ de acordo com a Lei de Ohm.
Para resolver tudo isso, vamos precisar entender um pouco sobre incertezas de medida, Lei de Ohm e regressão linear.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): calcular as incertezas para cada medida de tensão e corrente.
Incertezas dadas:
Tensão ($ V $): $ \pm 4% $
Corrente ($ I $): $ \pm 3% $
Fórmulas para calcular as incertezas:
Incerteza em $ V $: $ \Delta V = 0,04 \times V $
Incerteza em $ I $: $ \Delta I = 0,03 \times I $
Vamos aplicar essas fórmulas para cada linha da tabela:
Medida
Tensão $ V (\pm 4%) $
Corrente $ I (\pm 3%) $
1
$ 0 \pm 0 $ V
$ 0 \pm 0 $ mA
2
$ 0,5 \pm 0,02 $ V
$ 3,15 \pm 0,095 $ mA
3
$ 1,0 \pm 0,04 $ V
$ 7,59 \pm 0,2277 $ mA
4
$ 1,5 \pm 0,06 $ V
$ 11,22 \pm 0,3366 $ mA
5
$ 2,0 \pm 0,08 $ V
$ 13,36 \pm 0,4008 $ mA
6
$ 2,5 \pm 0,10 $ V
$ 18,24 \pm 0,5472 $ mA
7
$ 3,0 \pm 0,12 $ V
$ 21,30 \pm 0,639 $ mA
8
$ 3,5 \pm 0,14 $ V
$ 25,59 \pm 0,7677 $ mA
9
$ 4,0 \pm 0,16 $ V
$ 30,36 \pm 0,911 $ mA
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): calcular a resistência $ R $ para cada medida usando a Lei de Ohm $ V = R \cdot I $ e determinar a incerteza em $ R $.
Fórmula para resistência:
R
Cálculo da incerteza em $ R $:
Quando temos $ R = \frac{V}{I} $, a incerteza relativa em $ R $ é a soma das incertezas relativas em $ V $ e $ I $:
V = R cdot I
Portanto: R
Vamos calcular $ R $ e $ \Delta R $ para cada medida:
Observação: Para a medida 1, como tanto tensão quanto corrente são zero, a resistência não está definida.
Passo 4
Vamos para a parte c): realizar uma regressão linear $ y = a + b x $ usando os dados da tabela e interpretar os valores de $ a $ e $ b $.
Primeiro, vamos decidir quais são as variáveis $ x $ e $ y $. Supondo que $ y $ seja a tensão $ V $ e $ x $ seja a corrente $ I $, a Lei de Ohm se alinha com $ V = R \cdot I $, o que é uma reta passando pela origem. Portanto, esperamos que $ a \approx 0 $ e $ b \approx R $.
Passos para a regressão linear:
Calcular os somatórios necessários:
$ \sum x_i $
$ \sum y_i $
$ \sum x_i y_i $
$ \sum x_i^2 $
$ n $ (número de medidas)
Usar as fórmulas fornecidas para calcular $ b $ e $ a $:
y = a + b x
a
Calcular o valor de $ S $:
b
Calcular as incertezas $ \sigma_a $ e $ \sigma_b $:
x
y
Calculando os somatórios:
Vamos considerar as medidas de 2 a 9 (já que a medida 1 não tem resistência definida).
b = n sum xi yi - sum xi sum yin sum xi^2 - ( sum xi )^2
a = sum yi - b sum xin
Passo 5
Por fim, vamos para a parte d): interpretar fisicamente os valores de $ a $ e $ b $ de acordo com a Lei de Ohm.
Interpretação:
$ a $: Esse valor representa a interceptação da reta no eixo $ y $ quando $ x = 0 $. Na Lei de Ohm ideal, quando a corrente $ I $ é zero, a tensão $ V $ também deve ser zero, ou seja, $ a = 0 $. No nosso caso, $ a \approx 0,1115 $ V, que é próximo de zero dentro da incerteza, indicando uma pequena tensão residual quando não há corrente.
$ b $: Esse valor corresponde ao coeficiente angular da reta e representa a resistência $ R $ do circuito. Com $ b \approx 131,6 $ Ω, estamos determinando que a resistência do circuito é aproximadamente 131,6 Ω.
Resposta
a) As incertezas para cada medida de tensão e corrente são calculadas multiplicando-se os valores medidos por 4% e 3%, respectivamente. Por exemplo, para a medida 2, a tensão é 0,5 pm 0,02 V e a corrente é 3,15 pm 0,095 mA.
b) Utilizando a Lei de Ohm $ V = R \cdot I $, calculamos a resistência para cada medida e sua incerteza. Por exemplo, para a medida 2, a resistência é V = R cdot I Ω.
c) Realizando a regressão linear nos dados obtivemos a equação $ y = 0,1115 \pm 0,2694 , V + 131,6 \pm 14,62 , \Omega \cdot x $. O coeficiente $ b $ representa a resistência do circuito e $ a $ é a tensão residual próxima de zero.
d) Fisicamente, $ a $ representa a tensão residual no circuito quando não há corrente ($ I = 0 $), e $ b $ representa a resistência elétrica do circuito de acordo com a Lei de Ohm.