a) Determine o valor das incertezas para cada medida disposta na tabela.
b) Sendo a resistência indicada por V=Ri, (Lei de Ohm) complete a tabela ao lado, calculando o valor da resistência para cada medida. Não esqueça da incerteza.
Medida Tensão <br> ( pm 4 %)(V) Corrente <br> ( pm 3 %)(mA) Resistencia
1 0 0
2 0,5 3,15
3 1,0 7,59
4 1,5 11,22
5 2,0 13,36
6 2,5 18,24
7 3,0 21,30
8 3,5 25,59
9 4,0 30,36
c) Utilizando os dados da tabela do experimento, e interpretando que o gráfico será uma reta, faça uma regressão linear y=a+b x e interprete os valores de a e b, sendo:
rlr b=l n sum xi yi-sum xi sum yi n sum xi^2-(sum xi)^2 & sigmab=raiz-(n-2)^S nn sum xi^2-(sum xi)^2 a=l sum yi=b sum xi n & sigmaa=raizS(n-2) sumi xi^2n sum xi-(sum xi)^2
onde sigmaa e sigmab correspondem a incerteza nas medidas de a e b. O valor de S é indicado por:
S=sumi=1^n[yi-(a+b xi)]^2
d) Mostre a descrição física de A e B, de acordo com a Lei de Ohm.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício tem quatro partes e vamos resolver passo a passo. Primeiro, vamos entender o que cada parte pede:
a) Precisamos calcular as incertezas de cada medida de tensão e corrente na tabela.
b) Usando a Lei de Ohm, que diz que $ V = R \cdot I $, vamos calcular a resistência para cada medida e também a incerteza dessa resistência.
c) Com os dados da tabela, vamos fazer uma regressão linear $ y = a + b x $ para encontrar os valores de $ a $ e $ b $, além de suas incertezas.
d) Por fim, vamos explicar o que representam fisicamente os valores de $ a $ e $ b $ de acordo com a Lei de Ohm.
Para resolver tudo isso, vamos precisar entender um pouco sobre incertezas de medida, Lei de Ohm e regressão linear.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): calcular as incertezas para cada medida de tensão e corrente.
Incertezas dadas:
  • Tensão ($ V $): $ \pm 4% $
  • Corrente ($ I $): $ \pm 3% $
Fórmulas para calcular as incertezas:
  • Incerteza em $ V $: $ \Delta V = 0,04 \times V $
  • Incerteza em $ I $: $ \Delta I = 0,03 \times I $
Vamos aplicar essas fórmulas para cada linha da tabela:
Medida Tensão $ V (\pm 4%) $ Corrente $ I (\pm 3%) $
1 $ 0 \pm 0 $ V $ 0 \pm 0 $ mA
2 $ 0,5 \pm 0,02 $ V $ 3,15 \pm 0,095 $ mA
3 $ 1,0 \pm 0,04 $ V $ 7,59 \pm 0,2277 $ mA
4 $ 1,5 \pm 0,06 $ V $ 11,22 \pm 0,3366 $ mA
5 $ 2,0 \pm 0,08 $ V $ 13,36 \pm 0,4008 $ mA
6 $ 2,5 \pm 0,10 $ V $ 18,24 \pm 0,5472 $ mA
7 $ 3,0 \pm 0,12 $ V $ 21,30 \pm 0,639 $ mA
8 $ 3,5 \pm 0,14 $ V $ 25,59 \pm 0,7677 $ mA
9 $ 4,0 \pm 0,16 $ V $ 30,36 \pm 0,911 $ mA

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): calcular a resistência $ R $ para cada medida usando a Lei de Ohm $ V = R \cdot I $ e determinar a incerteza em $ R $.
Fórmula para resistência:
R
Cálculo da incerteza em $ R $:
Quando temos $ R = \frac{V}{I} $, a incerteza relativa em $ R $ é a soma das incertezas relativas em $ V $ e $ I $:
V = R cdot I
Portanto:
R
Vamos calcular $ R $ e $ \Delta R $ para cada medida:
Medida Tensão $ V $ Corrente $ I $ Resistência $ R = \frac{V}{I} $ $ \Omega $ Incerteza $ \Delta R $ $ \Omega $
1 0 V 0 mA - -
2 0,5 V 3,15 mA $ \frac{0,5}{3,15 \times 10^{-3}} \approx 158,73 $ Ω $ 158,73 \times (0,04 + 0,03) = 158,73 \times 0,07 \approx 11,11 $ Ω
3 1,0 V 7,59 mA $ \frac{1,0}{7,59 \times 10^{-3}} \approx 131,62 $ Ω $ 131,62 \times 0,07 \approx 9,21 $ Ω
4 1,5 V 11,22 mA $ \frac{1,5}{11,22 \times 10^{-3}} \approx 133,55 $ Ω $ 133,55 \times 0,07 \approx 9,35 $ Ω
5 2,0 V 13,36 mA $ \frac{2,0}{13,36 \times 10^{-3}} \approx 149,70 $ Ω $ 149,70 \times 0,07 \approx 10,48 $ Ω
6 2,5 V 18,24 mA $ \frac{2,5}{18,24 \times 10^{-3}} \approx 137,05 $ Ω $ 137,05 \times 0,07 \approx 9,59 $ Ω
7 3,0 V 21,30 mA $ \frac{3,0}{21,30 \times 10^{-3}} \approx 140,85 $ Ω $ 140,85 \times 0,07 \approx 9,86 $ Ω
8 3,5 V 25,59 mA $ \frac{3,5}{25,59 \times 10^{-3}} \approx 136,49 $ Ω $ 136,49 \times 0,07 \approx 9,55 $ Ω
9 4,0 V 30,36 mA $ \frac{4,0}{30,36 \times 10^{-3}} \approx 132,03 $ Ω $ 132,03 \times 0,07 \approx 9,24 $ Ω
Observação: Para a medida 1, como tanto tensão quanto corrente são zero, a resistência não está definida.

Passo 4

Vamos para a parte c): realizar uma regressão linear $ y = a + b x $ usando os dados da tabela e interpretar os valores de $ a $ e $ b $.
Primeiro, vamos decidir quais são as variáveis $ x $ e $ y $. Supondo que $ y $ seja a tensão $ V $ e $ x $ seja a corrente $ I $, a Lei de Ohm se alinha com $ V = R \cdot I $, o que é uma reta passando pela origem. Portanto, esperamos que $ a \approx 0 $ e $ b \approx R $.
Passos para a regressão linear:
  1. Calcular os somatórios necessários:
    • $ \sum x_i $
    • $ \sum y_i $
    • $ \sum x_i y_i $
    • $ \sum x_i^2 $
    • $ n $ (número de medidas)
  2. Usar as fórmulas fornecidas para calcular $ b $ e $ a $:
y = a + b x
a
  1. Calcular o valor de $ S $:
b
  1. Calcular as incertezas $ \sigma_a $ e $ \sigma_b $:
x
y
Calculando os somatórios:
Vamos considerar as medidas de 2 a 9 (já que a medida 1 não tem resistência definida).
Medida $ V $ (V) $ I $ (mA) $ x_i y_i $ $ x_i^2 $
2 0,5 3,15 $ 0,5 \times 3,15 = 1,575 $ $ (3,15)^2 = 9,9225 $
3 1,0 7,59 $ 1,0 \times 7,59 = 7,59 $ $ (7,59)^2 = 57,6081 $
4 1,5 11,22 $ 1,5 \times 11,22 = 16,83 $ $ (11,22)^2 = 125,8884 $
5 2,0 13,36 $ 2,0 \times 13,36 = 26,72 $ $ (13,36)^2 = 178,4896 $
6 2,5 18,24 $ 2,5 \times 18,24 = 45,6 $ $ (18,24)^2 = 332,1856 $
7 3,0 21,30 $ 3,0 \times 21,30 = 63,9 $ $ (21,30)^2 = 453,69 $
8 3,5 25,59 $ 3,5 \times 25,59 = 89,565 $ $ (25,59)^2 = 654,0281 $
9 4,0 30,36 $ 4,0 \times 30,36 = 121,44 $ $ (30,36)^2 = 920,16 $
Somatórios:
  • $ \sum x_i = 3,15 + 7,59 + 11,22 + 13,36 + 18,24 + 21,30 + 25,59 + 30,36 = 130,01 $ mA
  • $ \sum y_i = 0,5 + 1,0 + 1,5 + 2,0 + 2,5 + 3,0 + 3,5 + 4,0 = 18,0 $ V
  • $ \sum x_i y_i = 1,575 + 7,59 + 16,83 + 26,72 + 45,6 + 63,9 + 89,565 + 121,44 = 372,7 $ mA·V
  • $ \sum x_i^2 = 9,9225 + 57,6081 + 125,8884 + 178,4896 + 332,1856 + 453,69 + 654,0281 + 920,16 = 2721,2717 $ (mA)^2
  • $ n = 8 $
Calculando $ b $:
y
V
x
$$ b \approx 0,1316 ) V/mA $\approx 131,6 $ Ω
Calculando $ a $:
[ a = \frac{18,0 - 0,1316 \times 130,01}{8} $$
I
V = R cdot I
$$ a \approx 0,1115 ) V
Calculando $ S $:
[ S = \sum (y_i - (a + b x_i))^2 $$
Vamos calcular para cada medida:
Medida $ y_i $ $ a + b x_i $ $ y_i - (a + b x_i) $ $ (y_i - (a + b x_i))^2 $
2 0,5 $ 0,1115 + 0,1316 \times 3,15 \approx 0,1115 + 0,4149 = 0,5264 $ $ 0,5 - 0,5264 \approx -0,0264 $ $ 0,000696 $
3 1,0 $ 0,1115 + 0,1316 \times 7,59 \approx 0,1115 + 1,000 \approx 1,1115 $ $ 1,0 - 1,1115 \approx -0,1115 $ $ 0,01246 $
4 1,5 $ 0,1115 + 0,1316 \times 11,22 \approx 0,1115 + 1,4765 \approx 1,588 $ $ 1,5 - 1,588 \approx -0,088 $ $ 0,007744 $
5 2,0 $ 0,1115 + 0,1316 \times 13,36 \approx 0,1115 + 1,7566 \approx 1,8681 $ $ 2,0 - 1,8681 \approx 0,1319 $ $ 0,01743 $
6 2,5 $ 0,1115 + 0,1316 \times 18,24 \approx 0,1115 + 2,4038 \approx 2,5153 $ $ 2,5 - 2,5153 \approx -0,0153 $ $ 0,000234 $
7 3,0 $ 0,1115 + 0,1316 \times 21,30 \approx 0,1115 + 2,8059 \approx 2,9174 $ $ 3,0 - 2,9174 \approx 0,0826 $ $ 0,00682 $
8 3,5 $ 0,1115 + 0,1316 \times 25,59 \approx 0,1115 + 3,3666 \approx 3,4781 $ $ 3,5 - 3,4781 \approx 0,0219 $ $ 0,000479 $
9 4,0 $ 0,1115 + 0,1316 \times 30,36 \approx 0,1115 + 4,747 \approx 4,8585 $ $ 4,0 - 4,8585 \approx -0,8585 $ $ 0,7374 $
Somando todos os $ (y_i - (a + b x_i))^2 $:
$$ S \approx 0,000696 + 0,01246 + 0,007744 + 0,01743 + 0,000234 + 0,00682 + 0,000479 + 0,7374 \approx 0,7823 ) V²
Calculando $ \sigma_b $ e $ \sigma_a $:
[ \sigma_b = \sqrt{ \frac{S}{n-2} \cdot \frac{n}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} } $$
a approx 0
b approx R
sum xi
sum yi
$$ \sigma_b \approx 0,01462 ) V/mA $\approx 14,62 $ Ω
[ \sigma_a = \sqrt{ \frac{S}{n-2} \cdot \frac{\sum x_i^2}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} } $$
sum xi yi
sum xi^2
n
b
$$ \sigma_a \approx 0,2694 ) V
Resultados da Regressão Linear:
[ y = a + b x $$
a
Com incertezas:
b = n sum xi yi - sum xi sum yin sum xi^2 - ( sum xi )^2
a = sum yi - b sum xin

Passo 5

Por fim, vamos para a parte d): interpretar fisicamente os valores de $ a $ e $ b $ de acordo com a Lei de Ohm.
Interpretação:
  • $ a $: Esse valor representa a interceptação da reta no eixo $ y $ quando $ x = 0 $. Na Lei de Ohm ideal, quando a corrente $ I $ é zero, a tensão $ V $ também deve ser zero, ou seja, $ a = 0 $. No nosso caso, $ a \approx 0,1115 $ V, que é próximo de zero dentro da incerteza, indicando uma pequena tensão residual quando não há corrente.
  • $ b $: Esse valor corresponde ao coeficiente angular da reta e representa a resistência $ R $ do circuito. Com $ b \approx 131,6 $ Ω, estamos determinando que a resistência do circuito é aproximadamente 131,6 Ω.

Resposta

a) As incertezas para cada medida de tensão e corrente são calculadas multiplicando-se os valores medidos por 4% e 3%, respectivamente. Por exemplo, para a medida 2, a tensão é 0,5 pm 0,02 V e a corrente é 3,15 pm 0,095 mA.
b) Utilizando a Lei de Ohm $ V = R \cdot I $, calculamos a resistência para cada medida e sua incerteza. Por exemplo, para a medida 2, a resistência é V = R cdot I Ω.
c) Realizando a regressão linear nos dados obtivemos a equação $ y = 0,1115 \pm 0,2694 , V + 131,6 \pm 14,62 , \Omega \cdot x $. O coeficiente $ b $ representa a resistência do circuito e $ a $ é a tensão residual próxima de zero.
d) Fisicamente, $ a $ representa a tensão residual no circuito quando não há corrente ($ I = 0 $), e $ b $ representa a resistência elétrica do circuito de acordo com a Lei de Ohm.

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