Um bloco de massa M encontra-se apoiado sobre uma superfície horizontal. A superfície é então gradativamente inclinada, formando um ângulo theta com a direção horizontal. Considere que a aceleração da gravidade vale g e que os coeficientes de atrito estático e cinético valem mue e muc, respectivamente.
Mostre que para um ângulo do plano inclinado acima do valor thetac(theta>thetac ), o coeficiente de atrito cinético é dado por muc=g sen theta-ag cos theta=tan theta-ag sec theta, onde a é a aceleração adquirida pelo bloco ao deslizar. Descreva todas as passagens dos seus cálculos.

Passo 1

Então, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um bloco com massa $ M $ que está apoiado em uma superfície horizontal. Essa superfície é inclinada gradualmente, formando um ângulo $ \theta $ com a horizontal. Sabemos que a aceleração da gravidade é $ g $ e que os coeficientes de atrito estático e cinético são $ \mu_e $ e $ \mu_c $, respectivamente.
Nosso objetivo é mostrar que, quando o ângulo $ \theta $ é maior que um certo valor crítico $ \theta_c $, o coeficiente de atrito cinético $ \mu_c $ pode ser expressado pela fórmula:
M
Para resolver isso, vamos precisar entender como as forças atuam no bloco quando a superfície está inclinada e como elas se relacionam com a aceleração $ a $ do bloco.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama de forças para o bloco sobre o plano inclinado. As forças que atuam nele são:
  1. Força da gravidade ($ P $): Puxa o bloco para baixo, com intensidade $ P = M g $.
  2. Componente paralela à inclinação ($ P_{\parallel} $): É a parte da força da gravidade que faz o bloco deslizar para baixo, calculada por $ P_{\parallel} = M g \sin \theta $.
  3. Componente perpendicular à inclinação ($ P_{\perp} $): É a parte da força da gravidade que pressiona o bloco contra a superfície, calculada por $ P_{\perp} = M g \cos \theta $.
  4. Força de atrito cinético ($ F_a $): Atua contra o movimento do bloco, com intensidade $ F_a = \mu_c P_{\perp} = \mu_c M g \cos \theta $.
  5. Força resultante ($ F_{resultante} $): A diferença entre a força que puxa o bloco para baixo e a força de atrito que resiste ao movimento.

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual ao produto da massa pela aceleração ($ F = m a $). Para o bloco deslizando para baixo, temos:
F = m a
De acordo com a segunda lei de Newton:
Fresu
Portanto:
Fresu

Passo 4

Vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por $ M $:
M
Agora, queremos isolar $ \mu_c $. Vamos reorganizar os termos:
g sin theta - muc g cos theta = a
Dividindo ambos os lados por $ g \cos \theta $:
muc

Passo 5

Podemos simplificar a expressão dividindo os termos do numerador por $ g \cos \theta $:
g cos theta
Aqui, usamos as identidades trigonométricas:
  • $ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $
  • $ \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} $

Resposta

Portanto, mostramos que para um ângulo $ \theta $ maior que o ângulo crítico $ \theta_c $:
theta

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