Encontre a equação da elipse na forma canônica, seu centro, seus vértices, seus focos e faça um esboço do gráfico.
4 x^2+y^2-16=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar a equação da elipse na forma canônica, descobrir o centro, os vértices, os focos e fazer um esboço do gráfico. Pra isso, vamos precisar lembrar das propriedades das elipses e como transformar a equação geral dela para a forma padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação dada na forma padrão da elipse. A equação que temos é:
4x^2 + y^2 - 16 = 0
Vamos isolar o termo constante:
4x^2 + y^2 = 16
Agora, vamos dividir ambos os lados por 16 para deixar o lado direito igual a 1:
4x^216 + y^216 = 1
Simplificando as frações:
x^24 + y^216 = 1

Passo 3

A forma padrão da equação da elipse é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Onde é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor. Comparando com a nossa equação , vemos que:
  • então
  • então

Passo 4

O centro da elipse é , que encontramos ser . Então, o centro está na origem.

Passo 5

Agora, vamos identificar os semi-eixos:
  • Semi-eixo maior ( ) = 4
  • Semi-eixo menor ( ) = 2
Como , o eixo maior está alinhado com o eixo .

Passo 6

Os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo maior. Como o eixo maior está no eixo :
  • Vértice superior: =
  • Vértice inferior: =

Passo 7

Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
c^2 = a^2 - b^2
Substituindo os valores:
c^2 = 16 - 4 = 12
c = raiz12 = 2raiz3
Os focos ficam a uma distância do centro ao longo do eixo maior (eixo ):
  • Foco superior: =
  • Foco inferior: =

Resposta

A equação da elipse na forma canônica é:
x^24 + y^216 = 1
  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e
O gráfico da elipse tem o eixo maior ao longo do eixo , com os vértices e focos conforme acima.

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Seja A: R^3 times R^3 R definida por
A((x, y, z),(x^prime, y^prime, z^prime))=x y^prime+x z^prime-z y^prime+z z^prime
Verifique se A é uma forma bilinear.
Determine o valor de k de modo que o sistema
ccc -x+2 y+k z & = & 1 k x+4 y-4 z & = & 2 2 x+y+z & = & -2 k
seja:
(a) indeterminado.
(b) impossível.
Encontre a equação da elipse na forma canônica, seu centro, seus vértices, seus focos e faça um esboço do gráfico.
9 x^2+4 y^2-18 x+24 y+9=0
Determine a equação reduzida da elipse onde:
O Centro é C=(1,-2), um dos focos é (2,-2) e eixo menor tem comprimento 1