Encontre a equação da elipse na forma canônica, seu centro, seus vértices, seus focos e faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar a equação da elipse na forma canônica, descobrir o centro, os vértices, os focos e fazer um esboço do gráfico. Pra isso, vamos precisar lembrar das propriedades das elipses e como transformar a equação geral dela para a forma padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação dada na forma padrão da elipse. A equação que temos é:
Vamos isolar o termo constante:
Agora, vamos dividir ambos os lados por 16 para deixar o lado direito igual a 1:
Simplificando as frações:
Passo 3
A forma padrão da equação da elipse é:
Onde é o centro da elipse, é o semi-eixo maior e é o semi-eixo menor. Comparando com a nossa equação , vemos que:
então
então
Passo 4
O centro da elipse é , que encontramos ser . Então, o centro está na origem.
Passo 5
Agora, vamos identificar os semi-eixos:
Semi-eixo maior () = 4
Semi-eixo menor () = 2
Como , o eixo maior está alinhado com o eixo .
Passo 6
Os vértices estão a uma distância do centro ao longo do eixo maior. Como o eixo maior está no eixo :
Vértice superior: =
Vértice inferior: =
Passo 7
Para encontrar os focos, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Os focos ficam a uma distância do centro ao longo do eixo maior (eixo ):
Foco superior: =
Foco inferior: =
Resposta
A equação da elipse na forma canônica é:
Centro:
Vértices: e
Focos: e
O gráfico da elipse tem o eixo maior ao longo do eixo , com os vértices e focos conforme acima.