Determine o valor de
, caso exista, para que a função dada seja contínua em
.
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de
para que a função
seja contínua em
. Isso envolve entender sobre continuidade de funções e o conceito de limites. Vamos precisar calcular o limite da função quando
se aproxima de 0 e igualar esse limite a
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem satisfeitas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso,
e queremos que
seja contínua nesse ponto.
Passo 3
Vamos analisar a função
:
Para
, podemos simplificar a expressão:
Então, para
,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0:
Então, o limite de
quando
se aproxima de 0 é
.
Passo 5
Para a função ser contínua em
, esse limite precisa ser igual a
, que é
. Ou seja:
Portanto,
deve ser igual a
.
Resposta
O valor de
que torna a função contínua em
é
.