Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.
Passo 1
Beleza, vamos analisar a continuidade da função que foi dada. A função
é definida de duas formas:
Aqui, estamos lidando com a continuidade de funções, que faz parte do estudo de limites e comportamento das funções em pontos específicos. Para resolver isso, vamos verificar se a função é contínua em todo o seu domínio, prestando atenção especial no ponto onde a função muda de definição, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Vamos aplicar isso na nossa função.
Passo 3
Vamos verificar a continuidade em
.
-
está definida?
Sim, de acordo com a definição da função,
.
- Existe o limite de
quando se aproxima de ?
Vamos calcular:
Sabemos que
para qualquer constante
. Então:
- O limite é igual a
?
Não, o limite é
e
. Como
, a condição não é satisfeita.
Passo 4
Como a condição de continuidade não foi atendida em
, concluímos que a função não é contínua nesse ponto.
Para os outros valores de
diferentes de
, a função é uma combinação de funções trigonométricas e polinomiais, que são contínuas em todo o seu domínio. Portanto, a única descontinuidade ocorre em
.
Resposta
A função
não é contínua em
, mas é contínua em todo o restante do seu domínio.