Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a continuidade da função que foi dada. A função é definida de duas formas:
Aqui, estamos lidando com a continuidade de funções, que faz parte do estudo de limites e comportamento das funções em pontos específicos. Para resolver isso, vamos verificar se a função é contínua em todo o seu domínio, prestando atenção especial no ponto onde a função muda de definição, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos aplicar isso na nossa função.

Passo 3

Vamos verificar a continuidade em .
  1. está definida?
Sim, de acordo com a definição da função, .
  1. Existe o limite de quando se aproxima de ?
Vamos calcular:
Sabemos que para qualquer constante . Então:
  1. O limite é igual a ?
Não, o limite é e . Como , a condição não é satisfeita.

Passo 4

Como a condição de continuidade não foi atendida em , concluímos que a função não é contínua nesse ponto.
Para os outros valores de diferentes de , a função é uma combinação de funções trigonométricas e polinomiais, que são contínuas em todo o seu domínio. Portanto, a única descontinuidade ocorre em .

Resposta

A função não é contínua em , mas é contínua em todo o restante do seu domínio.

Exercícios relacionados

Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.
Suponha que para todo . Mostre que é contínua no ponto .
Determine o valor de , caso exista, para que a função dada seja contínua em .
em .
Determine o valor de , caso exista, para que a função dada seja contínua em .