Determine o valor de , caso exista, para que a função dada seja contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de que faz a função ser contínua em . Isso está relacionado ao conceito de continuidade de funções, onde a função não tem “quebras” ou “saltos” no ponto em questão. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites laterais da função em e garantir que eles sejam iguais ao valor da função nesse ponto, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser contínua em um ponto , ela precisa satisfazer três condições:
  1. A função está definida em .
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em .
No nosso caso, a função já está definida em como . Então, precisamos calcular os limites à esquerda e à direita de e igualar ao .

Passo 3

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
Isso porque, para , a função é simplesmente .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
Aqui, para , a função é , e quando se aproxima de 1, também se aproxima de 1.

Passo 5

Como ambos os limites laterais são iguais a 1, para que a função seja contínua em , o valor da função nesse ponto também deve ser 1. Ou seja, .

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

Exercícios relacionados

Determine o valor de , caso exista, para que a função dada seja contínua em .
em .
Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.
A afirmação
Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função é contínua.