Determine o valor de , caso exista, para que a função dada seja contínua em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o valor de que faz a função ser contínua em . Isso está relacionado ao conceito de continuidade de funções, onde a função não tem “quebras” ou “saltos” no ponto em questão. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites laterais da função em e garantir que eles sejam iguais ao valor da função nesse ponto, ou seja, .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma função ser contínua em um ponto , ela precisa satisfazer três condições:
A função está definida em .
O limite da função quando se aproxima de existe.
O limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em .
No nosso caso, a função já está definida em como . Então, precisamos calcular os limites à esquerda e à direita de e igualar ao .
Passo 3
Vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ():
Isso porque, para , a função é simplesmente .
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela direita ():
Aqui, para , a função é , e quando se aproxima de 1, também se aproxima de 1.
Passo 5
Como ambos os limites laterais são iguais a 1, para que a função seja contínua em , o valor da função nesse ponto também deve ser 1. Ou seja, .