Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a continuidade dessa função que deu no enunciado. A função está definida de forma diferente para e para . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre continuidade de funções, que basicamente verifica se o gráfico da função é uma linha contínua, sem quebras ou “saltos”. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta nos pontos onde ela muda de definição, ou seja, em e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte da função onde :
Note que , então podemos reescrever:
Desde que , podemos simplificar para:
Essa simplificação nos ajuda a entender melhor o comportamento da função nos pontos próximos a e .

Passo 3

Agora, vamos analisar a continuidade em . Para a função ser contínua nesse ponto, três condições precisam ser atendidas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de 1 existe.
  3. O limite é igual ao valor da função em 1, ou seja, .
Sabemos que .

Passo 4

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1:
Perfeito, o limite existe e é igual a .

Passo 5

Como o limite quando se aproxima de 1 é igual ao valor da função em 1, podemos dizer que é contínua em .

Passo 6

Agora, vamos fazer a mesma análise para . As condições para continuidade são as mesmas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de -1 existe.
  3. O limite é igual a .
Sabemos que .

Passo 7

Calculando o limite de quando se aproxima de -1:
Aqui, se tentarmos substituir , obtemos uma divisão por zero, o que não é possível. Portanto, o limite não existe nesse ponto.

Passo 8

Como o limite quando se aproxima de -1 não existe, a função não é contínua em , mesmo que esteja definida.

Resposta

A função é contínua em e descontínua em .

Exercícios relacionados

Suponha que para todo . Mostre que é contínua no ponto .
Encontre exemplos de funções tais que:
(a) é contínua em , mas e não são.
Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.
Determine o valor de , caso exista, para que a função dada seja contínua em .
em .