Analise a continuidade das funções abaixo nos seus domínios.
Passo 1
Beleza, vamos analisar a continuidade dessa função que deu no enunciado. A função está definida de forma diferente para e para . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre continuidade de funções, que basicamente verifica se o gráfico da função é uma linha contínua, sem quebras ou “saltos”. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta nos pontos onde ela muda de definição, ou seja, em e .
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a parte da função onde :
Note que , então podemos reescrever:
Desde que , podemos simplificar para:
Essa simplificação nos ajuda a entender melhor o comportamento da função nos pontos próximos a e .
Passo 3
Agora, vamos analisar a continuidade em . Para a função ser contínua nesse ponto, três condições precisam ser atendidas:
está definida.
O limite de quando se aproxima de 1 existe.
O limite é igual ao valor da função em 1, ou seja, .
Sabemos que .
Passo 4
Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1:
Perfeito, o limite existe e é igual a .
Passo 5
Como o limite quando se aproxima de 1 é igual ao valor da função em 1, podemos dizer que é contínua em .
Passo 6
Agora, vamos fazer a mesma análise para . As condições para continuidade são as mesmas:
está definida.
O limite de quando se aproxima de -1 existe.
O limite é igual a .
Sabemos que .
Passo 7
Calculando o limite de quando se aproxima de -1:
Aqui, se tentarmos substituir , obtemos uma divisão por zero, o que não é possível. Portanto, o limite não existe nesse ponto.
Passo 8
Como o limite quando se aproxima de -1 não existe, a função não é contínua em , mesmo que esteja definida.