Determine o valor da soma da série
Σn12n+231−n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o valor da soma da série:
sum 12n + 2311 - n
Esse problema envolve o estudo de séries, que são somas de termos que seguem uma certa regra. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar os termos da série e verificar se ela converge para um número específico ou se não tem um valor definido.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Temos:
12n + 2311 - n
Podemos reescrever o denominador para facilitar a simplificação:
12n + 2311 - n = 12n + 231-(n - 1) = -12n + 231n - 1

Passo 3

Agora, vamos dividir o numerador pelo denominador para simplificar ainda mais. Vamos fazer uma divisão polinomial de 12n + 231 por n - 1:
12n + 231n - 1 = 12 + 243n - 1
Então, substituindo de volta na expressão simplificada:
-12n + 231n - 1 = -(12 + 243n - 1) = -12 - 243n - 1

Passo 4

Agora, vamos escrever a série original com a expressão simplificada:
sum 12n + 2311 - n = sum (-12 - 243n - 1) = sum (-12) + sum (-243n - 1)
Isso significa que a série está dividida em duas partes: uma constante -12 somada infinitas vezes e outra que envolve uma fração.

Passo 5

Vamos analisar cada parte separadamente:
  1. Série da constante -12:
sum (-12) = -12 + (-12) + (-12) + dots
Essa é uma série infinita onde cada termo é -12. Somar -12 infinitas vezes resulta em -infty, ou seja, a série diverge para menos infinito.
  1. Série da fração -243n - 1:
sum (-243n - 1)
Essa é uma série harmônica modificada, que também diverge para -infty.

Passo 6

Como ambas as partes da série divergem para -infty, a soma total da série também não converge para nenhum valor finito. Portanto, a série não possui um valor definido e diverge para menos infinito.

Resposta

A soma da série diverge para menos infinito, ou seja, não possui um valor finito.

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