Determine o valor da soma da série
Σn12n+231−n
Σn12n+231−n
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o valor da soma da série:
Esse problema envolve o estudo de séries, que são somas de termos que seguem uma certa regra. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar os termos da série e verificar se ela converge para um número específico ou se não tem um valor definido.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. Temos:
Podemos reescrever o denominador para facilitar a simplificação:
Passo 3
Agora, vamos dividir o numerador pelo denominador para simplificar ainda mais. Vamos fazer uma divisão polinomial de
por
:
Então, substituindo de volta na expressão simplificada:
Passo 4
Agora, vamos escrever a série original com a expressão simplificada:
Isso significa que a série está dividida em duas partes: uma constante
somada infinitas vezes e outra que envolve uma fração.
Passo 5
Vamos analisar cada parte separadamente:
- Série da constante
:
Essa é uma série infinita onde cada termo é
. Somar
infinitas vezes resulta em
, ou seja, a série diverge para menos infinito.
- Série da fração
:
Essa é uma série harmônica modificada, que também diverge para
.
Passo 6
Como ambas as partes da série divergem para
, a soma total da série também não converge para nenhum valor finito. Portanto, a série não possui um valor definido e diverge para menos infinito.
Resposta
A soma da série diverge para menos infinito, ou seja, não possui um valor finito.