Mostre que a seguinte função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta:
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1,0 | 1 |
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1,5 | 2 |
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1,5 | 3 |
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2,5 | 4 |
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3 | 5 |
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Determine o seguinte:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de probabilidade conjunta que nos dá as probabilidades para diferentes combinações de valores de $ X $ e $ Y $. A gente quer descobrir a probabilidade de que $ X $ seja menor que 2,5, ou seja, $ P(X < 2,5) $. Para isso, vamos precisar identificar quais valores de $ X $ são menores que 2,5 e somar as probabilidades correspondentes a esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais valores de $ X $ na tabela são menores que 2,5. Olhando a tabela:
- $ X = 1,0 $
- $ X = 1,5 $
- $ X = 2,5 $
- $ X = 3,0 $
Dos valores acima, os que são menores que 2,5 são:
- $ X = 1,0 $
- $ X = 1,5 $
O valor $ X = 2,5 $ é exatamente 2,5, então não é menor que 2,5. E $ X = 3,0 $ é maior, então descartamos também.
Passo 3
Agora que sabemos que vamos usar os valores $ X = 1,0 $ e $ X = 1,5 $, vamos olhar quais são as probabilidades correspondentes a esses valores na tabela.
Para $ X = 1,0 $:
- Quando $ Y = 1 $, $ f_{XY}(1,0) = \frac{1}{4} $
Para $ X = 1,5 $:
- Quando $ Y = 2 $, $ f_{XY}(1,5) = \frac{1}{8} $
- Quando $ Y = 3 $, $ f_{XY}(1,5) = \frac{1}{4} $
Passo 4
A probabilidade $ P(X < 2,5) $ é a soma de todas as probabilidades onde $ X $ é menor que 2,5. Então, vamos somar as probabilidades que identificamos:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos somar essas frações. Primeiro, vamos converter todas para ter o mesmo denominador, que é 8:
Então,
Resposta
A probabilidade de que $ X $ seja menor que 2,5 é $ \frac{5}{8} $.