Determine o valor de x para que os vetores u=(x, 2,-1), v=(1,-1,3) e w=(0,-2,4) sejam coplanares.

Passo 1

Então, a gente tem um problema onde precisamos encontrar o valor de para que três vetores sejam coplanares. Isso está relacionado à matéria de Vetores e Espaços Vetoriais, especificamente sobre dependência e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de determinante de uma matriz formada pelos vetores. Se o determinante dessa matriz for zero, os vetores são coplanares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever os vetores x & 1 & 0 2 & -1 & -2 -1 & 3 & 4 , e como colunas de uma matriz:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é dado por:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
onde a & b & c d & e & f g & h & i são os elementos da matriz:

Passo 4

Aplicando isso à nossa matriz:
a = x, b = 1, c = 0 d = 2, e = -1, f = -2 g = -1, h = 3, i = 4
Então:
det(A) = x[(-1)(4) - (-2)(3)] - 1[(2)(4) - (-2)(-1)] + 0[(2)(3) - (-1)(-1)]

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:
det(A) = x[(-4) - (-6)] - 1[(8) - (2)] + 0[ldots]
det(A) = x[2] - 1[6] + 0
det(A) = 2x - 6

Passo 6

Para os vetores serem coplanares, o determinante deve ser igual a zero:
2x - 6 = 0

Passo 7

Resolvendo para 2x = 6 x = 62 x = 3 :

Resposta

O valor de que torna os vetores coplanares é .

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