Determine o vetor projeção de u=(2,3,4) sobre v=(1,-1,0).

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o vetor projeção de u = (2, 3, 4) sobre v = (1, -1, 0). Aqui, estamos trabalhando com álgebra vetorial, mais especificamente com o conceito de projeção de vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar a projeção de um vetor u sobre outro vetor v. A fórmula é:
projv u = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, o símbolo “ cdot” representa o produto escalar entre os vetores.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v. O produto escalar é dado por:
u cdot v = (2)(1) + (3)(-1) + (4)(0) = 2 - 3 + 0 = -1

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar v cdot v, que é essencialmente o quadrado do comprimento do vetor v:
v cdot v = (1)^2 + (-1)^2 + (0)^2 = 1 + 1 + 0 = 2

Passo 5

Com esses resultados, podemos aplicar a fórmula da projeção:
projv u = ( -12 ) v = ( -12 ) (1, -1, 0) = ( -12, 12, 0 )

Resposta

A projeção de u = (2, 3, 4) sobre v = (1, -1, 0) é o vetor ( -12, 12, 0 ).

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