Dados três vetores A, B e C em R^3, suponha que todos os três vetores satisfazem as seguintes propriedades: |A|=|C|=5,|B|=1 e |A-B+c|=| A+B+C. Se o ângulo entre A e B é pi / 8, encontre o ângulo entre B e C .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de vetores juntos! Aqui, estamos lidando com vetores em três dimensões e precisamos usar conceitos de magnitude (ou comprimento dos vetores) e ângulos entre vetores. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de produto escalar e lei dos cossenos para vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que sabemos:
  • O ângulo entre e é

Passo 3

Vamos expandir ambas as normas quadráticas usando a propriedade |A - B + C|^2 = (A - B + C) cdot (A - B + C) . Então temos:
|A + B + C|^2 = (A + B + C) cdot (A + B + C)

Passo 4

Calculando cada produto escalar:
(A - B + C) cdot (A - B + C) = A cdot A - 2A cdot B + 2A cdot C + B cdot B - 2B cdot C + C cdot C
(A + B + C) cdot (A + B + C) = A cdot A + 2A cdot B + 2A cdot C + B cdot B + 2B cdot C + C cdot C

Passo 5

Como as magnitudes de A cdot A = 5^2 = 25 , B cdot B = 1^2 = 1 e C cdot C = 5^2 = 25 são conhecidas, substituímos:

Passo 6

Igualando as duas expressões das normas quadráticas:
25 - 2A cdot B + 2A cdot C + 1 - 2B cdot C + 25 = 25 + 2A cdot B + 2A cdot C + 1 + 2B cdot C + 25

Passo 7

Simplificando a equação:
51 - 2A cdot B - 2B cdot C = 51 + 2A cdot B + 2B cdot C

Passo 8

Subtraindo 51 de ambos os lados:
-2A cdot B - 2B cdot C = 2A cdot B + 2B cdot C

Passo 9

Então:
-4A cdot B - 4B cdot C = 0
-4A cdot B = 4B cdot C
A cdot B = -B cdot C

Passo 10

Sabemos que A cdot B = 5 times 1 times cos(pi8) = 5cos(pi8) , onde . Então:

Passo 11

Substituindo na equação 5cos(pi8) = -B cdot C :

Passo 12

Sabemos que 5cos(pi8) = -1 times 5 times cos(phi) , onde 5cos(pi8) = -5cos(phi) é o ângulo entre e . Então:

Passo 13

Dividindo ambos os lados por 5:
cos(pi8) = -cos(phi)

Passo 14

Então, temos:
cos(phi) = -cos(pi8)

Passo 15

Lembrando que phi = pi - pi8 = 7pi8 , isso implica que:

Resposta

O ângulo entre e é radianos.

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