Dados três vetores
e
em
, suponha que todos os três vetores satisfazem as seguintes propriedades:
e
. Se o ângulo entre A e B é
, encontre o ângulo entre B e C .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de vetores juntos! Aqui, estamos lidando com vetores em três dimensões e precisamos usar conceitos de magnitude (ou comprimento dos vetores) e ângulos entre vetores. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas de produto escalar e lei dos cossenos para vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que sabemos:
-
-
-
- O ângulo entre
e é -
Passo 3
Vamos expandir ambas as normas quadráticas usando a propriedade
. Então temos:
Passo 4
Calculando cada produto escalar:
Passo 5
Como as magnitudes de
,
e
são conhecidas, substituímos:
Passo 6
Igualando as duas expressões das normas quadráticas:
Passo 7
Simplificando a equação:
Passo 8
Subtraindo 51 de ambos os lados:
Passo 9
Então:
Passo 10
Sabemos que
, onde
. Então:
Passo 11
Substituindo na equação
:
Passo 12
Sabemos que
, onde
é o ângulo entre
e
. Então:
Passo 13
Dividindo ambos os lados por 5:
Passo 14
Então, temos:
Passo 15
Lembrando que
, isso implica que:
Resposta
O ângulo entre
e
é
radianos.
Exercícios relacionados
Encontrar o vetor unitário que tenha: I) o mesmo sentido de
e II) sentido contrário a
nos casos:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Determine o valor de
para que os vetores
e
sejam coplanares.
Verifique, em cada caso, se
é um subespaço vetorial do
.
b)
b)
Para quais valores de
, o sistema
não admite solução? Resp.:
.