Determine o valor de 1 ∫ 0 2 ∫ 0 ( 2 y x + 3 y x 2 ) d x d y 1 6 3 8 4

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral dupla: integral0^1 integral0^2 (2yx + 3yx^2) , dx , dy. Isso envolve cálculo integral, especificamente integrais duplas onde a gente integra uma função em duas variáveis, x e y. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função 2yx + 3yx^2 em relação a x, mantendo y como uma constante. A integral fica:
integral0^2 (2yx + 3yx^2) , dx

Passo 3

Para integrar, a gente integra cada termo separadamente:
integral 2yx , dx + integral 3yx^2 , dx
Isso dá:
2y cdot x^22 + 3y cdot x^33
Simplificando:
y x^2 + y x^3

Passo 4

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de x = 0 a x = 2:
y (2)^2 + y (2)^3 - ( y (0)^2 + y (0)^3 ) = y cdot 4 + y cdot 8 - 0 = 12y
Então, a integral em relação a x resulta em 12y.

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado 12y em relação a y, com limites de y = 0 a y = 1:
integral0^1 12y , dy

Passo 6

Integrando 12y em relação a y:
12 cdot y^22 = 6y^2

Passo 7

Avaliando nos limites de y = 0 a y = 1:
6(1)^2 - 6(0)^2 = 6 - 0 = 6

Resposta

O valor da integral é 6.

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