Verificar se são colineares os pontos a(-1 -5 0) b(2 1 3) e c(-2,-7,-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se os pontos A(-1, -5, 0), B(2, 1, 3) e C(-2, -7, -1) estão colineares, ou seja, se eles estão todos alinhados em uma única reta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente vetores e propriedades de colinearidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa pontos serem colineares. Três pontos estão na mesma linha se o vetor que liga A a B for proporcional ao vetor que liga A a C. Em outras palavras, se AB for um múltiplo de AC, então os pontos são colineares.

Passo 3

Vamos calcular os vetores AB e AC.
Para AB:
AB = (Bx - Ax, By - Ay, Bz - Az) = (2 - (-1), 1 - (-5), 3 - 0) = (3, 6, 3)
Para AC:
AC = (Cx - Ax, Cy - Ay, Cz - Az) = (-2 - (-1), -7 - (-5), -1 - 0) = (-1, -2, -1)

Passo 4

Agora, vamos verificar se AB é um múltiplo de AC. Isso significa que deve existir uma constante k tal que:
AB = k cdot AC
Vamos comparar as componentes:
3 = k cdot (-1) 6 = k cdot (-2) 3 = k cdot (-1)

Passo 5

Resolvendo as equações:
  1. De 3 = k cdot (-1), temos k = -3.
  2. De 6 = k cdot (-2), temos k = -3.
  3. De 3 = k cdot (-1), novamente k = -3.
Como encontramos o mesmo valor de k para todas as componentes, isso confirma que AB é proporcional a AC.

Resposta

Os pontos A(-1, -5, 0), B(2, 1, 3) e C(-2, -7, -1) são colineares.

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