Determine os valores de e para que a função dada seja contínua:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de e para que a função seja contínua em todo o seu domínio. Isso significa que não pode ter “saltos” ou “interrupções” no gráfico da função. Para fazer isso, vamos olhar nos pontos onde a função muda de expressão, que são em e .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o ponto . Para a função ser contínua nesse ponto, o valor que ela assume quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao valor que ela assume quando se aproxima de 1 pela direita.
Do lado esquerdo ( ):
Então, o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda é:
Do lado direito ( ):
O limite quando se aproxima de 1 pela direita é:
Para a continuidade em , esses dois limites devem ser iguais:
Essa é a nossa primeira equação.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o ponto . Novamente, para a função ser contínua nesse ponto, o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda deve ser igual ao valor que ela assume quando se aproxima de 3 pela direita.
Do lado esquerdo ( ):
O limite quando se aproxima de 3 pela esquerda é:
Do lado direito ( ):
Então, o limite quando se aproxima de 3 pela direita é:
Para a continuidade em , esses dois limites devem ser iguais:
Essa é a nossa segunda equação.

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema:
Subtraia a primeira equação da segunda:
Agora, substitua na primeira equação:

Resposta

Os valores que tornam a função contínua são e .

Exercícios relacionados

Em cada caso calcule a integral iterada: .
Use o teorema do valor intermediário para mostrar que a equação tem uma solução entre 1 e 2.
Ache a diferencial total .
b)