Em cada caso calcule a integral iterada: integral1^2 integral0^2 x x y^3 d y d x.

Passo 1

Vamos calcular a integral iterada integral1^2 integral0^2 x x y^3 , dy , dx. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais duplas, especificamente integrais iteradas. Para resolver, vamos precisar integrar a função x y^3 primeiro em relação a y e depois em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral interna integral0^2x x y^3 , dy. Aqui, tratamos x como uma constante porque estamos integrando em relação a y.

Passo 3

Para integrar x y^3 em relação a y, usamos a regra de potências. A antiderivada de y^3 é y^44. Então:
integral x y^3 , dy = x cdot y^44 = x y^44

Passo 4

Agora, avaliamos essa antiderivada nos limites de y = 0 a y = 2x:
x y^44 |0^2x = x (2x)^44 - x (0)^44

Passo 5

Simplificando, temos:
x (16x^4)4 - 0 = 16x^54 = 4x^5

Passo 6

Agora, precisamos integrar o resultado 4x^5 em relação a x de 1 a 2:
integral1^2 4x^5 , dx

Passo 7

Integrando 4x^5 em relação a x, usamos novamente a regra de potências. A antiderivada de x^5 é x^66, então:
4 cdot x^66 = 2x^63

Passo 8

Avaliando essa antiderivada nos limites de x = 1 a x = 2:
2x^63 |1^2 = 2(2)^63 - 2(1)^63

Passo 9

Calculando os valores:
2 cdot 643 - 2 cdot 13 = 1283 - 23 = 1263 = 42

Resposta

O valor da integral iterada é 42.

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