Determine os valores de modo que a função definida por
seja contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de e que fazem com que a função seja contínua. A função é definida por partes, ou seja, tem expressões diferentes dependendo do valor de . Para que a função seja contínua, ela não pode “quebrar” em nenhum ponto, especificamente nos pontos onde a definição muda, que nesse caso são e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima de pelo lado esquerdo é igual ao limite pelo lado direito, e ambos são iguais ao valor da função em . Ou seja:
Neste exercício, precisamos garantir essa continuidade em e .
Passo 3
Vamos começar verificando a continuidade em .
Para , a função é:
Portanto, o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda () é:
Para , a função é:
Então, o valor da função em é:
Para garantir a continuidade em , esses dois valores devem ser iguais:
Passo 4
Agora vamos resolver essa equação para relacionar e :
Vamos trazer todos os termos com e para um lado:
çã
Passo 5
Agora, vamos verificar a continuidade em .
Para , a função é:
Então, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda () é:
Para , a função é:
Então, o valor da função em deve ser:
Para garantir a continuidade em , esses dois valores devem ser iguais:
Passo 6
Vamos resolver essa segunda equação:
Vamos trazer todos os termos com e para um lado:
çã
Passo 7
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a Equação 2 da Equação 1 para eliminar :
Passo 8
Agora que encontramos , vamos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar :
Resposta
Os valores que garantem a continuidade da função são: