Determine os valores a, b in R de modo que a função definida por
f(x) = { a*x + 2*b - 1, se x < 1; 3 + b*x - a*x^2, se 1 <= x <= 2; a + b - 2, se x > 2 }
seja contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de e que fazem com que a função seja contínua. A função é definida por partes, ou seja, tem expressões diferentes dependendo do valor de . Para que a função seja contínua, ela não pode “quebrar” em nenhum ponto, especificamente nos pontos onde a definição muda, que nesse caso são e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima de pelo lado esquerdo é igual ao limite pelo lado direito, e ambos são iguais ao valor da função em . Ou seja:
Neste exercício, precisamos garantir essa continuidade em e .

Passo 3

Vamos começar verificando a continuidade em .
Para , a função é:
Portanto, o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) é:
Para , a função é:
Então, o valor da função em é:
Para garantir a continuidade em , esses dois valores devem ser iguais:

Passo 4

Agora vamos resolver essa equação para relacionar e :
Vamos trazer todos os termos com e para um lado:
çã

Passo 5

Agora, vamos verificar a continuidade em .
Para , a função é:
Então, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ) é:
Para , a função é:
Então, o valor da função em deve ser:
Para garantir a continuidade em , esses dois valores devem ser iguais:

Passo 6

Vamos resolver essa segunda equação:
Vamos trazer todos os termos com e para um lado:
çã

Passo 7

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a Equação 2 da Equação 1 para eliminar :

Passo 8

Agora que encontramos , vamos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar :

Resposta

Os valores que garantem a continuidade da função são:

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